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$\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étant fonctions de ${\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T}$ ou de $x\,;$ partant, si l’on fait, comme cela est permis, $dx'=dx,$ on aura

${\frac {d\sideset {^{1}}{}p}{dx}}=\sideset {^{1}}{}q\qquad$et$\qquad {\frac {d\sideset {^{1}}{}q}{dx}}=\sideset {^{1}}{}p,$

c’est-à-dire que les équations ${\frac {dp}{dx}}=q$ et ${\frac {dq}{dx}}=p$ ont lieu $x$ étant quelconque, et qu’ainsi on peut, en les intégrant, regarder $p$ et $q$ comme fonctions de $x.$

Un avantage particulier à la méthode précédente, et qui la rend d’un usage extrêmement simple, consiste en ce que, par les méthodes ordinaires, on peut pousser aussi loin que l’on veut les approximations, en conservant les arcs de cercle, et qu’il suffit ensuite d’une seule opération pour les faire disparaître, comme nous l’avons fait voir dans le second article des recherches citées ; or, on peut encore appliquer à ce cas le raisonnement que nous venons de faire, en sorte qu’il ne doit rester aucune difficulté sur cet objet.

Ayant envoyé cette méthode à M. de Lagrange, il me fit l’honneur de me répondre qu’il en avait pareillement imaginé une qui y a rapport ; comme tout ce qui sort de la plume de ce grand analyste ne peut qu’intéresser les Sciences, et que d’ailleurs cette méthode n’est point connue, je pense que les géomètres la verront ici avec plaisir ; je vais donc la donner telle que M. de Lagrange me l’a envoyée.

« Ayant l’équation

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y+\Omega =0,$

où $y$ est supposé très petit, et où $\Omega$ est une fonction rationnelle et entière de $y$ et de $\sin t,\cos t,\ldots ,$ j’observe que les deux premiers termes donnent

$y=p\sin t+q\cos t,$

$p$ et $q$ étant des constantes. Je fais maintenant

$\nu =p\sin t+q\cos t+z,$