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ADDITIONS.

Ces additions ont pour objet : 1^o l’éclaircissement d’une difficulté que présente la méthode d’approximation exposée au commencement de ces recherches ; 2^o quelques nouvelles recherches sur l’équilibre des sphéroïdes homogènes.

I.

Sur les approximations.

La méthode que nous avons donnée pour cela consiste à faire varier les constantes arbitraires dans les intégrales approchées. Reprenons le premier exemple auquel nous l’avons appliquée dans l’article I des Recherches citées (il est nécessaire d’avoir cet article sous les yeux). Nous sommes parvenus aux deux équations

$\delta p={\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} q,\qquad \delta q={\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} p,$

$\delta p$ étant la variation de $p$ après l’intervalle $\mathrm {T}$ et $\delta q$ celle de $q$ après le même intervalle. Pour tirer de ces équations les valeurs de $p$ et de $q,$ nous avons observé qu’en nommant $\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ ce que deviennent $p$ et $q,$ après l’intervalle $\mathrm {T} ,$ et faisant ${\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} =x,\ \sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étaient fonctions de $x,$ et que l’on avait

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&p+x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&q\,+x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc

$\delta p=x{\frac {dp}{dx}}+\ldots \qquad$et$\qquad \delta q=x{\frac {dq}{dx}}+\ldots .$