Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/488

dente cesserait d’avoir lieu après un certain temps ; mais elle sera exacte dans tous les cas où l’excentricité va en décroissant : or, je dis que ces cas sont ceux de la nature ; car, s’il existe autour du Soleil un fluide extrêmement rare, sa densité doit diminuer à mesure qu’on s’éloigne de cet astre ; ainsi, la fonction $\Gamma (u)$ doit être telle qu’elle augmente avec $u\,;$ partant, $du\Gamma '(u)$ est toujours du même signe que $du,$ c’est-à-dire que $\Gamma '(u)$ est une quantité positive ; ainsi la valeur de ${\frac {de}{dx}}$ est négative.

Je suppose la densité de l’éther proportionnelle à ${\frac {1}{r^{m}}}\,;$ on aura

$\Gamma (u)=u^{m}\,;$

donc

$\Gamma '\left({\frac {1}{a}}\right)={\frac {m}{a^{m-1}}}\,;$

on aura ainsi

$daa^{m-{\frac {1}{2}}}=-2dx\,;$

partant,

$a=\left[f-(2m+1)x\right]^{\frac {2}{2m+1}},$

$f$ étant une constante arbitraire ; de là je conclus

${\frac {de}{e}}=-{\frac {dx(m+1)}{f-(2m+1)x}}\,;$

d’où je tire, en intégrant,

$e=h\left[f-(2m+1)x\right]{\frac {m+1}{2m+1}},$

$h$ étant une seconde arbitraire ; on déterminera $f$ et $h$ au moyen des valeurs de $a$ et de $\alpha e$ lorsque $x$ égale $0.$

Pour déterminer le moyen mouvement de la planète, depuis une époque donnée, j’observe que, en nommant $y$ ce moyen mouvement, on aurait

$y=\mathrm {A} +nt=\mathrm {A} +{\frac {\sqrt {\mathrm {S+P} }}{a^{\frac {3}{2}}}}t=\mathrm {A} +{\frac {x}{a^{\frac {3}{2}}\delta \mu }}$

si $a$ était constant ; $\mathrm {A}$ est une constante arbitraire qui exprime la va-