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est, par le même article, lorsque $\delta \mu =0,$

$u={\frac {1}{r}}={\frac {1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\,;$

mais, si l’on suppose que $\delta \mu$ n’est pas nul, il faut différentier l’équation

$0={\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}},$

par rapport à $\delta ,$ et y ajouter le terme $-{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u),$ ce qui donne

$0={\frac {d^{2}\delta u}{d\varphi ^{2}}}+\delta u-2{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)\,;$

or

$ds={\sqrt {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}}\qquad$et$\qquad \Gamma (u)=\Gamma \left[{\frac {1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\right]\,;$

de là on aura, en réduisant en séries,

$-{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)=-\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +\mathrm {B} \sin(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} \sin 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots \right]\,;$

cette série sera d’autant plus convergente que $\alpha e$ sera plus petit, mais, $\alpha e$ étant toujours moindre que l’unité, elle convergera dans tous les cas, surtout après les intégrations ; on aura donc

$0={\frac {d^{2}\delta u}{d\varphi ^{2}}}+\delta u-\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +\mathrm {B} \sin(\varphi +\varepsilon )+\mathrm {C} \sin 2(\varphi +\varepsilon )+\ldots \right]\,;$

partant,

$\delta u=\delta \mu \left[\mathrm {A} \varphi +{\frac {\mathrm {B} }{2}}\varphi \cos(\varphi +\varepsilon )-{\frac {\mathrm {C} }{3}}\sin 2(\varphi +\varepsilon )-\ldots \right]$

et

${\begin{aligned}u=&{\frac {1}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}+\delta \mu \mathrm {A} \varphi \\&-\left[{\frac {\alpha e}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}+\delta \mu {\frac {\mathrm {B} \varphi }{2}}\right]\cos(\varphi +\varepsilon )-{\frac {\delta \mu \mathrm {C} }{3}}\sin 2(\varphi +\varepsilon )-\ldots \,;\end{aligned}}$

d’où il est aisé de conclure que l’aphélie de la planète est immobile, mais que son grand axe et son excentricité sont assujettis à des inéga-