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pour la première,

$-\delta \mu \Gamma \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsdr}{dt^{2}}},$

et pour la seconde,

$-\delta \mu \Gamma \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {dsd\varphi }{dt^{2}}}\,;$

de cette manière, les quantités que nous avons nommées $\psi$ et $\psi ',$ dans l’article VIII, deviendront, en faisant ${\frac {1}{r}}=u,$

${\begin{aligned}\psi \ =&-(\mathrm {S+P} )u^{2}+\delta \mu \Gamma (u){\frac {dsdu}{u^{2}dt^{2}}},\\\psi '=&-\delta \mu \Gamma (u){\frac {dsd\varphi }{udt^{2}}}\,;\end{aligned}}$

mais on peut, en négligeant les quantités de l’ordre $\delta \mu ^{2},$ mettre dans les termes multipliés par $\delta \mu ,$ au lieu de $dt,\ {\frac {r^{2}d\varphi }{h}}$ ou ${\frac {d\varphi }{hu^{2}}}$ (art. IX), et l’on aura

${\begin{aligned}\psi \ =&-(\mathrm {S+P} )u^{2}+\delta \mu \Gamma (u)h^{2}u^{2}{\frac {dsdu}{d\varphi ^{2}}},\\\psi '=&-\delta \mu \Gamma (u)h^{2}u^{3}{\frac {ds}{d\varphi }}\,;\end{aligned}}$

l’équation

${\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u+{\frac {{\cfrac {\psi }{u^{2}}}+{\cfrac {1}{u^{3}}}\psi '{\cfrac {du}{d\varphi }}}{h^{2}+2\int \psi '{\cfrac {\varphi }{u^{3}}}}}=0,$

trouvée dans l’article VIII, deviendra donc, en négligeant les quantités de l’ordre $\delta \mu ^{2},$

$(h)\qquad \qquad 0={\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}-{\frac {2(\mathrm {S+P} )}{h^{2}}}\delta \mu \int ds\Gamma (u)\,;$

$d\varphi$ étant constant, et $h$ étant, par l’article IX, égal à

${\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}},$

$a$ étant le demi grand axe et $\alpha e$ l’excentricité de l’ellipse que la planète décrirait dans l’hypothèse de $\delta \mu =0\,;$ l’intégrale de l’équation $(h)$