Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/483

que deviendraient les orbites des planètes après un temps quelconque extrêmement grand. Comme la méthode exposée au commencement de ce Mémoire donne une solution fort simple de ce problème, je vais la présenter ici en peu de mots.

Je négligerai l’action des planètes les unes sur les autres, et je considérerai le Soleil comme immobile, ou tel au moins que l’éther qui l’environne se meuve avec lui ; or il est démontré que cet éther, s’il existe, ne peut être qu’un fluide extrêmement rare, en sorte que sa résistance est insensible dans l’intervalle d’un petit nombre de révolutions. Les planètes décriraient conséquemment, à chacune de leurs révolutions, à très peu près une ellipse ; après un temps quelconque, elles décriraient encore très sensiblement une orbite elliptique. Si l’effet de la résistance de la matière éthérée est remarquable, ce ne peut donc être que parce qu’elle doit altérer à la longue les éléments de cette ellipse, c’est-à-dire la moyenne distance de la planète au Soleil, son moyen mouvement, son excentricité et la position de son aphélie. Je vais ici déterminer ces variations, quelque grandes qu’elles soient.

Pour cela, je supposerai, conformément à ce qui existe dans la nature : 1^o que la force centrale est en raison réciproque du carré de la distance ; 2^o que la résistance de l’éther est proportionnelle à sa densité, multipliée par le carré de la vitesse de la planète. Cela posé, soient, comme précédemment, $r$ le rayon vecteur de la planète ; $\varphi$ l’angle que forme ce rayon vecteur avec une droite invariable prise sur le plan de l’orbite ; $\mathrm {S+P}$ la somme des masses du Soleil et de la planète ; soient, de plus, $ds$ l’élément de la courbe ; $dt$ l’élément du temps ; ${\frac {ds}{dt}}$ sera la vitesse de la planète. Représentons par $\Gamma \left({\frac {1}{r}}\right)$ la loi de la densité de l’éther aux différentes distances du Soleil ; $\delta \mu \Gamma \left({\frac {1}{r}}\right){\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}$ exprimera la résistance que la planète éprouve, $\delta \mu$ étant ici un coefficient constant et extrêmement petit, dépendant du volume de la planète et de la densité de la matière éthérée, à une distance donnée. Si l’on décompose maintenant cette résistance en deux, l’une suivant le rayon vecteur, et l’autre perpendiculairement à ce rayon, on aura,