Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/481

on aura pareillement

$ae'=$

${\sqrt {(0{,}047286)^{2}+(0{,}035808)^{2}+2.0{,}47286.0{,}035808\cos \left(18''{,}662x+94^{\circ }33'\right)}}\,;$

partant, la plus grande excentricité de Jupiter sera

$0{,}018885+0{,}042891=0{,}061776,$

et la plus petite sera $0{,}024006\,;$ de même, la plus grande excentricité de Saturne sera $0{,}083094,$ et la plus petite sera $0{,}011478\,;$ la période de cette variation est déterminée par l’équation $18''{,}662x=180^{\circ },$ ce qui donne $x=34723\,;$ partant, elle est de $34723$ années.

Quant au mouvement des aphélies, on se rappellera que $\mathrm {A}$ exprime la longitude de la projection de l’aphélie de Jupiter, et que l’on a

$\operatorname {tang} \mathrm {A} ={\frac {p}{q}}={\frac {b\sin(fu+\varpi )+\sideset {^{1}}{}b\sin \left(\sideset {^{1}}{}fu+\sideset {^{1}}{}\varpi \right)}{b\cos(fu+\varpi )+\sideset {^{1}}{}b\cos \left(\sideset {^{1}}{}fu+\sideset {^{1}}{}\varpi \right)}}\,;$

d’où l’on tirera, à cause de $\sideset {^{1}}{}b>b,$ en valeur absolue,

${\begin{aligned}\mathrm {A} =m.180^{\circ }+\sideset {^{1}}{}fu+\sideset {^{1}}{}\varpi &+\ \ {\frac {b}{\sideset {^{1}}{}b}}\,\ \ \sin \left[\ \ \left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)u+\ \sideset {^{1}}{}\varpi -\quad \varpi \right]\\&-{\frac {b^{2}}{2.\sideset {^{1}}{^{2}}b}}\sin \left[2\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)u-2\varpi +2\sideset {^{1}}{}\varpi \right]\\&+{\frac {b^{3}}{3.\sideset {^{1}}{^{3}}b}}\sin \left[3\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)u-3\varpi +3\sideset {^{1}}{}\varpi \right]\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$m$ étant un nombre entier quelconque (voir, pour la démonstration de cette suite, l’excellente pièce de M. de Lagrange Sur le mouvement des nœuds) ; on aura donc

${\begin{aligned}\mathrm {A} =m.180^{\circ }+33^{\circ }33'+3''{,}888x&-\quad \ \ {\frac {18885}{42891}}\quad \ \sin \ \ \left(18''{,}662x+94^{\circ }33'\right)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {18885}{42891}}\right)^{2}\sin 2\left(18''{,}662x+94^{\circ }33'\right)\\&-{\frac {1}{3}}\left({\frac {18885}{42891}}\right)^{3}\sin 3\left(18''{,}662x+94^{\circ }33'\right)\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$