quels que soient
et
Supposons conséquemment
et
infiniment petit ; nous aurons
![{\displaystyle {\frac {1-\mu ^{2i}}{2i}}=-\operatorname {l} \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2fd3ef7a60eacea4e4ffa5f014970cab78567a)
car le numérateur et le dénominateur de cette quantité devenant nuls par la supposition de
si l’on différentie l’un et l’autre en regardant
seule comme variable, on aura
![{\displaystyle {\frac {1-\mu ^{2i}}{2i}}=-\operatorname {l} \mu ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c2fd3ef7a60eacea4e4ffa5f014970cab78567a)
partant
on aura donc dans ces suppositions
![{\displaystyle \int {\frac {\mu ^{n}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}\int {\frac {\mu ^{n+i}d\mu }{\sqrt {1-\mu ^{2i}}}}=\int {\frac {d\mu }{{\sqrt {2i}}{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}}\int {\frac {d\mu }{{\sqrt {2i}}{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}}={\frac {1}{i}}{\frac {\pi }{2}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81fb00ed985ffe36cde8cac5bc4dbc4b6b5dc46)
partant
![{\displaystyle \int {\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}={\sqrt {\pi }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/659a61b427de86a36d9ba2d4e60d2a9b513ffb52)
en supposant l’intégrale commencer lorsque
et finir lorsque
mais comme, dans le cas précédent, cette intégrale commence lorsque
et finit lorsque
nous aurons
![{\displaystyle \int -{\frac {d\mu }{\sqrt {-\operatorname {l} \mu }}}={\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27e9999210382d780aa68804668b77855c66ce1c)
Donc
![{\displaystyle \int 2e^{-{\frac {(p+q)^{3}}{2pq}}}z^{2}dz={\frac {{\sqrt {pq}}{\sqrt {2\pi }}}{(p+q)^{\frac {3}{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2611c495c3988d44dbd4b3093e5dccb0c06b0515)
d’où nous obtiendrons
on voit donc qu’en négligeant les quantités infiniment petites, nous pouvons regarder comme certain que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites
et
étant égal à
étant plus grand que
et moindre que
et à plus forte raison
étant plus grand que
partant
peut être supposé moindre qu’aucune grandeur donnée.