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dans $q,q',\ldots ,p,p',\ldots$ les quantités ${\overline {(0,1)}},{\overline {(0,2)}},\ldots ,{\overline {(1,0)}},\ldots ,$ en $(0,1),(0,2),\ldots ,(1,0),\ldots .$

Les équations précédentes en donnent une en $f,$ du degré $n,$ s’il y a $n$ planètes ; or, si cette équation renferme des racines imaginaires, il entre nécessairement des quantités exponentielles dans les valeurs de $p,q,\ldots ,$ et comme ces quantités peuvent aller croissantes à l’infini, la solution précédente ne peut avoir lieu que pour un temps limité : il serait donc très important de s’assurer si l’équation en $f$ peut renfermer des racines imaginaires, et en quel nombre elles peuvent y exister. Cette discussion me paraît digne de toute l’attention des géomètres ; je me contenterai ici d’observer que, lorsqu’on ne considère que deux planètes, comme on l’a fait jusqu’à présent dans la théorie de Jupiter et de Saturne, l’équation en $f$ a toujours deux racines réelles ; car on a alors

${\begin{aligned}fb\ =&(0,l)b\ -{\overline {(0,1)}}b',\\fb'=&(l,0)b'-{\overline {(1,0)}}b,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$f^{2}-\left[(1,0)+(0,1)\right]f={\overline {(1,0)}}\,{\overline {(0,1)}}-(1,0)(0,1),$

équation dont il est visible que les deux racines sont toujours réelles.

XXI.

Détermination des inégalités séculaires du mouvement des aphélies
et des excentricités de Jupiter et de Saturne.

Il nous resterait présentement à appliquer la théorie précédente aux différentes planètes ; mais la longueur déjà trop grande de ce Mémoire m’oblige de renvoyer ces applications à un autre temps ; je me bornerai donc ici à déterminer les inégalités séculaires de Jupiter et de Saturne, et, parmi ces inégalités, je ne considérerai que celles du mouvement des aphélies et des excentricités, M. de Lagrange ayant traité, dans le plus grand détail, celles qui sont relatives au mouvement des nœuds et à l’inclinaison de leurs orbites. Les masses de ces