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et

(III.)

${\frac {da}{du}}+a\left(p{\frac {dp}{du}}+q{\frac {dq}{du}}-{\frac {1}{2}}h{\frac {dh}{du}}-{\frac {1}{2}}l{\frac {dl}{du}}\right)$

$=a\left[{\overline {(0,1)}}(p'q-q'p)+{\frac {1}{2}}(0,1)(h'l-hl')\right]\,;$

ensuite, pour faire disparaître les arcs de cercle de la valeur de $s,$ je fais

(IV.)

${\frac {dl}{du}}=(0,1)h-{\overline {(0,1)}}h'$

(V.)

${\frac {dh}{du}}=(0,1)l'-{\overline {(0,1)}}l\,;$

enfin, pour faire disparaître les arcs de cercle de la valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}},$ je fais

${\begin{aligned}{\frac {dp}{du}}=\quad (0,1)q-{\overline {(0,1)}}q',\\{\frac {dq}{du}}=-(0,1)p-{\overline {(0,1)}}p',\end{aligned}}$

équations qui rentrent dans les deux premières.

L’équation III donne, en y substituant, au lieu de ${\frac {dp}{du}},{\frac {dq}{du}},{\frac {dh}{du}},{\frac {dl}{du}},$ leurs valeurs tirées des équations I, II, IV et V, ${\frac {da}{du}}=0,$ ce qui indique que la variation de la moyenne distance est nulle, comme nous l’avons déjà observé ; on aura donc les quatre équations

${\begin{aligned}{\frac {dp}{du}}=&\quad \ q\left[(0,1)+(0,2)+(0,3)+\ldots \right]-{\overline {(0,1)}}q'-{\overline {(0,2)}}q''-{\overline {(0,3)}}q'''-\ldots ,\\{\frac {dq}{du}}=&-p\left[(0,1)+(0,2)+(0,3)+\ldots \right]+{\overline {(0,1)}}p'+{\overline {(0,2)}}p''+{\overline {(0,3)}}p'''+\ldots ,\\{\frac {dh}{du}}=&-l\left[(0,1)+(0,2)+\ldots \right]+{\overline {(0,1)}}l'+{\overline {(0,2)}}l''+\ldots ,\\{\frac {dl}{du}}=&\quad h\left[(0,1)+(0,2)+\ldots \right]-{\overline {(0,1)}}h'-{\overline {(0,2)}}h''-\ldots .\end{aligned}}$

Maintenant, si l’on regarde successivement les planètes $\mathrm {P',P''} ,\ldots$ comme troublées par l’action des autres, et que l’on nomme $(1,0),{\overline {(1,0)}},(1,2),$${\overline {(1,2)}},\ldots$ pour $\mathrm {P} '\,;\ (2,0),{\overline {(2,0)}},(2,1),{\overline {(2,1)}},\ldots$ pour