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$\mathrm {X,Y}$ et $\mathrm {Z}$ étant des quantités périodiques ou qui ne renferment point d’arcs de cercle. Or, si l’on nomme $\varepsilon$ la distance réelle de la planète $\mathrm {P}$ à son aphélie, $\mathrm {B_{1},B_{1}'} ,\ldots$ les angles compris à l’origine du mouvement entre les projections des planètes $\mathrm {P,P'} ,\ldots$ et la ligne fixe d’où l’on commence à compter les longitudes, on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\mathrm {B_{1}=A} +\varepsilon \,;$

de plus, on a, par l’article IX,

$\theta =\varepsilon +2\alpha e\sin \varepsilon \,;$

donc

$\theta =\mathrm {B_{1}-A} +2\alpha e\sin(\mathrm {B_{1}-A} )\,;$

or on a (art. XIV)

$\mathrm {B=A'-A} +\theta '-\theta \,;$

donc

$\mathrm {B=B_{1}'-B_{1}} +2\alpha e'\sin \left(\mathrm {B_{1}'-A'} \right)-2\alpha e\sin(\mathrm {B_{1}-A} )\,;$

on aura ainsi

${\begin{aligned}&\cos q(n't-nt+\mathrm {B} )=\cos q(n't-nt+\mathrm {B'_{1}-B} )\\&+\left[2\alpha eq\sin(\mathrm {B_{1}-A} )-2\alpha e'q\sin(\mathrm {B'_{1}-A'} )\right]\sin q(n't-nt+\mathrm {B'_{1}-B_{1}} )\,;\end{aligned}}$

on a de plus, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$

${\begin{alignedat}{3}\cos(nt+\theta )=&\cos(nt+\mathrm {B_{1}-A\ } )&&=\cos \mathrm {A} \ \cos(nt+\mathrm {B} _{1})&+&\sin \mathrm {A} \ \sin(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\sin(nt+\theta )=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-A\ } )&&=\cos \mathrm {A} \ \sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-&\sin \mathrm {A} \ \cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-A'} )&&=\cos \mathrm {A} '\sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-&\sin \mathrm {A} '\cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\end{alignedat}}$

$\sin \mathrm {V=\sin(A'-A)=\sin A'\cos A-\sin A\cos A'} .$

Nommons ensuite $\mathrm {C_{1},C_{1}'} ,\ldots$ les distances des nœuds de $\mathrm {P,P'} ,\ldots$ à la ligne fixe, à l’origine du mouvement, et nous aurons, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$

$\mathrm {B_{1}-\varpi =C_{1}}$

${\begin{alignedat}{2}\sin(nt+\varpi )=&\sin(nt+\mathrm {B_{1}-C_{1}} )=&\cos \mathrm {C} _{1}\sin(nt+\mathrm {B} _{1})&-\sin \mathrm {C} _{1}\cos(nt+\mathrm {B} _{1}),\\\cos(nt+\varpi )=&\cos(nt+\mathrm {B_{1}-C_{1}} )=&\cos \mathrm {C} _{1}\cos(nt+\mathrm {B} _{1})&+\sin \mathrm {C} _{1}\sin(nt+\mathrm {B} _{1})\end{alignedat}}$