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naison et l’excentricité de l’orbite, sont exactes, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{3},$ et que celles du mouvement des nœuds et des aphélies le sont aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2},$ par où l’on voit qu’elles sont fort approchées.

Considérons maintenant un argument tel que

$\cos q(n't-nt+\mathrm {B} ),$

$q$ étant un nombre entier quelconque, on verra aisément qu’il faut porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ pour en retrouver un pareil ; et si l’on considère un argument tel que

$\alpha e\cos(n't-2nt+\mathrm {B} -\theta ),$

on verra qu’il faut, pour retrouver son pareil, porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{3}\,;$ de là, on peut conclure généralement que le même argument ne peut être reproduit que par les quantités des ordres $\alpha ^{2},\alpha ^{4},\alpha ^{6},\ldots$ s’il se trouve, pour la première fois, parmi les termes des ordres $\alpha ^{0},\alpha ^{2},\alpha ^{4},\ldots ,$ ou par les quantités des ordres $\alpha ^{3},\alpha ^{5},\alpha ^{7},\ldots$ s’il se trouve, pour la première fois, parmi les termes des ordres $\alpha ,\alpha ^{3},\alpha ^{5},\ldots .$

XX.

Je reprends maintenant les équations de l’article XVIII

$r=a\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\alpha ^{2}\delta \mu '\lambda nt+\alpha e\cos(nt+\theta )\\&-\alpha (\mathrm {F+G} )\delta \mu 'ent\sin(nt+\theta )\\&+{\frac {\alpha e'.\mathrm {\sideset {^{1}}{}L} }{2}}nt\delta \mu '\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')+\mathrm {Y} \end{aligned}}\right\},$

${\begin{aligned}s=\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )&+{\frac {\alpha \gamma i(b_{1})}{4}}\delta \mu 'nt\cos(nt+\varpi )\\&-{\frac {\alpha \gamma 'i(b_{1})}{4}}\delta \mu 'nt\cos(nt-\mathrm {B} +\varpi ')+\mathrm {Z} \,;\end{aligned}}$

et j’observe que l’on a pour ${\frac {d\varphi }{dt}}$ une équation de cette forme

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=n&-2\alpha en\cos(nt+\theta )+2\alpha en(\mathrm {F+G} )nt\sin(nt+\theta )\\&-\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} \alpha e'n^{2}t\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')+\mathrm {X} ,\end{aligned}}$