Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/466

et en substituant, au lieu de $\mathrm {C,E,\sideset {^{1}}{}H}$ et $\mathrm {\sideset {^{1}}{}F} ,$ leurs valeurs en $(b)$ et $(b_{1}),$ que l’on tirera facilement des articles XIII et XIV, on trouvera

$\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} =3i(b)-(b_{1})\left(1+i^{2}\right)\,;$

on trouvera de la même manière

$\mathrm {K} ={\frac {3}{2}}i(b)-{\frac {1}{2}}(b_{1})\left(1+i^{2}\right)\,;$

d’où l’on tire ${\text{ϐ}}=0,$ c’est-à-dire que l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète est nulle, au moins en ne poussant l’approximation que jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\delta \mu '.$ Nous verrons ciaprès qu’elle serait encore nulle, en ayant égard aux termes de l’ordre $\alpha ^{3}\delta \mu '\,;$ et comme les quantités des ordres $\alpha ^{2}\delta \mu '$ et $\alpha ^{3}\delta \mu '$ sont déjà excessivement petites, on peut en conclure que l’action réciproque des planètes, les unes sur les autres, n’a pu sensiblement altérer leurs moyens mouvements, depuis le temps au moins auquel on a commencé à cultiver l’Astronomie, jusqu’à nos jours ; résultat analogue à celui que j’ai trouvé par une autre méthode dans les Savants étrangers, année, 1773, page 218^[1].

XVIII.

Reprenons maintenant les valeurs de $\delta r$ et de $\delta s\,;$ en y ajoutant les valeurs de $r$ et de $s,$ trouvées ci-dessus dans la supposition de $\delta \mu '=0,$ on aura

$r=a\left\{{\begin{aligned}1&+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\alpha e\cos(nt+\theta )\\&-\alpha (\mathrm {F+G} )\delta \mu 'ent\sin(nt+\theta )+\alpha ^{2}\delta \mu '\lambda nt\\&+{\frac {\alpha .\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} }{2}}e'nt\delta \mu '\sin(nt-\mathrm {B} +\theta ')+\mathrm {Y} \end{aligned}}\right\}$

et

${\begin{aligned}s=&\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )+{\frac {\alpha \gamma (b_{1})i}{4}}\delta \mu 'nt\cos nt+\varpi )\\&-{\frac {\alpha \gamma '(b_{1})i}{4}}\delta \mu 'nt\cos(nt-\mathrm {B} +\varpi ')+\mathrm {Z} ,\end{aligned}}$

$\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ étant des quantités périodiques qui ne renferment point d’arcs

1. Œuvres de Laplace, T. VIII, p. 263.