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dépend, comme nous l’avons déjà observé, l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète ; or, si, dans l’équation (17) de l’article XI, on substitue, au lieu de $\delta r,\ a\delta \mu '\left(y+\alpha y'+\alpha ^{2}\lambda nt\right),$ au lieu de $\delta s,$ sa valeur trouvée dans l’article précédent, et que l’on ne conserve que les termes de l’ordre $\alpha ^{2}$ proportionnels à $t,$ il est clair d’abord que les termes sans $\alpha$ et ceux de l’ordre $\alpha$ disparaîtront d’eux mêmes en vertu des valeurs précédentes de $y$ et de $y'\,;$ de plus, on trouvera, par un calcul fort simple,

$\lambda =ee'\sin \mathrm {V} \left(2\mathrm {K} -{\frac {3}{2}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} \right)+\gamma \gamma '\sin \mathrm {U} \left[2\mathrm {L} -{\frac {3}{8}}i(b_{1})\right]\,;$

ensuite l’équation (16) de l’article XI donne, en y substituant, au lieu de $\delta \varphi ,\ \delta \mu '\left(x+\alpha x'+\alpha ^{2}{\text{ϐ}}n^{2}t^{2}\right),$ et ne conservant parmi les termes de l’ordre $\alpha ^{2}$ que ceux qui sont proportionnels à $t,$

${\text{ϐ}}=ee'\sin \mathrm {V} \left({\frac {3}{4}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} -{\frac {3}{2}}\mathrm {K} \right)+\gamma \gamma '\sin \mathrm {U} \left[{\frac {3}{8}}i(b_{1})-{\frac {3}{2}}\mathrm {L} \right].$

Il est visible que le terme $\alpha ^{2}\delta \mu '{\text{ϐ}}n^{2}t^{2}$ donne l’équation séculaire du moyen mouvement de la planète, et comme cette inégalité est la plus essentielle à déterminer, il ne sera pas inutile de chercher à la mettre sous la forme la plus simple dont elle est susceptible.

Pour cela, j’observe que l’on a, par l’article XIV,

$\mathrm {L} ={\frac {3i^{2}}{4\left(1+i^{2}\right)}}\left[(b)-{\frac {1}{2}}(b_{2})\right]+{\frac {i^{3}}{\left(1+i^{2}\right)^{2}}}\left[\left({\frac {db}{dq}}\right)-{\frac {1}{2}}\left({\frac {db_{2}}{dq}}\right)\right]\,;$

or, si l’on substitue, au lieu de $(b_{2}),\left({\frac {db}{dq}}\right),\left({\frac {db_{2}}{dq}}\right),$ leurs valeurs en $(b)$ et $(b_{1}),$ trouvées dans l’article XIII, on aura

$\mathrm {L} ={\frac {1}{4}}i(b_{1})\,;$

partant,

${\frac {3}{8}}i(b_{1})-{\frac {3}{2}}\mathrm {L} =0\,;$

ce qui réduit déjà l’expression de ϐ à celle-ci

${\text{ϐ}}=ee'\sin \mathrm {V} \left({\frac {3}{4}}\mathrm {\sideset {^{2}}{}L} -{\frac {3}{2}}\mathrm {K} \right)\,;$

de plus, on a

$\mathrm {\sideset {^{2}}{}L=2C-2E+\sideset {^{1}}{}H-\sideset {^{1}}{}F} \,;$