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Soit $x={\frac {p}{p+q}}+z,$ et nous aurons

$\int x^{p}(1-x)^{q}dx={\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int \left(1+{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1-{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz.$

Si l’on intègre cette quantité depuis $z=0$ jusqu’à $z=\omega ,$ en multipliant cette intégrale par ${\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}},$ on aura la probabilité que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites ${\frac {p}{p+q}}$ et ${\frac {p}{p+q}}+\omega .$

Pareillement, si l’on intègre

${\frac {p^{p}q^{q}}{(p+q)^{p+q}}}\int \left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}\left(1+{\frac {p+q}{q}}z\right)^{q}dz,$

depuis $z-=0$ jusqu’à $z=\omega ,$ en multipliant cette intégrale par ${\frac {(p+1)\ldots (p+q+1)}{1.2.3\ldots q}},$ on aura la probabilité que le rapport du nombre des billets blancs au nombre total des billets est compris entre les limites ${\frac {p}{p+q}}$ et ${\frac {p}{p+q}}-\omega .$ La somme de ces deux quantités exprime donc la probabilité que ce rapport est contenu entre les limites ${\frac {p}{p+q}}-\omega$ et ${\frac {p}{p+q}}+\omega .$ Nommons $\mathrm {E}$ cette probabilité ; supposons d’ailleurs $p$ et $q$ infiniment grands, et que $\omega ,$ ou la plus grande valeur de $z,$ soit infiniment moindre que ${\frac {1}{\sqrt[{3}]{p+q}}},$ et infiniment plus grande que ${\frac {1}{\sqrt {p+q}}},$ qu’elle soit égale, par exemple, à ${\frac {1}{(p+q)^{\frac {1}{n}}}},\ n$ étant plus grand que $2$ et moindre que $3.$

Si l’on fait présentement $\operatorname {l} \left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}=u,$ on aura, en réduisant en séries,

$u=-(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2p}}z^{2}-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}-\ldots .$

Donc

$\left(1-{\frac {p+q}{p}}z\right)^{p}=e^{u}=e^{-(p+q)z-{\frac {(p+q)^{2}}{2p}}z^{2}-\ldots }.$

Nous pouvons négliger ici le terme $-{\frac {(p+q)^{3}}{3p^{2}}}z^{3}$ et les suivants, car la