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Il est inutile d’ajouter ici des constantes arbitraires, parce qu’elles sont déjà renfermées dans la première valeur de $r,$ que la supposition de $\delta \mu '=0$ nous a donnée article IX.

Si l’on substitue cette valeur de $y$ dans l’équation (16) de l’article XI, on aura, en y supposant $\delta \varphi =x\delta \mu '$ et négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$

${\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}=&-{\frac {3\delta c}{a^{2}\delta \mu '}}+2n\mathrm {F} \\&-\left\{{\frac {n^{2}}{n'-n}}\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{i^{2}}}\right)+{\frac {2n^{3}}{(n'-n)^{2}-n^{2}}}\right.\\&\qquad \qquad \times \left.\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {F} }+{\frac {1}{i^{2}}}+{\frac {2n}{n'-n}}\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{i^{2}}}\right)\right]\right\}\cos(n't-nt+\mathrm {B} )\\&-\left[{\frac {1}{4}}{\frac {n^{2}}{n'-n}}\sideset {^{1}}{}{\mathrm {C} }+{\frac {2n^{3}}{(2n'-2n)^{2}-n^{2}}}\right.\\&\qquad \qquad \times \left.\left({\frac {1}{2}}\sideset {^{2}}{}{\mathrm {F} }+{\frac {2n}{n'-n}}{\frac {1}{4}}\sideset {^{1}}{}{\mathrm {C} }\right)\right]\cos 2(n't-nt+\mathrm {B} )\\&-\left[{\frac {1}{9}}{\frac {n^{2}}{n'-n}}\sideset {^{2}}{}{\mathrm {C} }+{\frac {2n^{3}}{(3n'-3n)^{2}-n^{2}}}\right.\\&\qquad \qquad \times \left.\left({\frac {1}{3}}\sideset {^{3}}{}{\mathrm {F} }+{\frac {2n}{n'-n}}{\frac {1}{9}}\sideset {^{2}}{}{\mathrm {C} }\right)\right]\cos 3(n't-nt+\mathrm {B} )\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Que l’on détermine présentement $\delta c$ de manière que ${\frac {dx}{dt}}$ ne renferme point de terme constant, et qu’ainsi $nt$ représente le moyen mouvement de la planète, on aura

$0=-{\frac {3\delta c}{a^{2}\delta \mu '}}+2n\mathrm {F} \,;$

partant,

${\frac {\delta c}{a^{2}\delta \mu '}}={\frac {2}{3}}n\mathrm {F} \,;$

donc

$y={\frac {1}{3}}\mathrm {F} +{\frac {n^{2}}{(n'-n)^{2}-n^{2}}}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {F} }+{\frac {1}{i^{2}}}+{\frac {2n}{n'-n}}\left(\mathrm {C} -{\frac {1}{i^{2}}}\right)\right]$

$\times \cos(n't-nt+\mathrm {B} )+\ldots \,;$

telles sont les valeurs de ${\frac {\delta r}{a\delta \mu '}}$ et de ${\frac {d\delta \varphi }{dt}},$ aux quantités près de l’ordre $\alpha .$ Déterminons présentement ces valeurs aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{2}.$

XVI.