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Au moyen de ces équations et des équations (/), on aura ${\frac {db_{2}}{dq}},{\frac {db}{dq}},\ldots$ lorsqu’on connaîtra ${\frac {db}{dq}},$ et ${\frac {db_{1}}{dq}}\,;$ or on a, par ce qui précède,

$b_{2}={\frac {-2b_{1}+2\mu bq}{(\mu -2)q}}\,;$

partant,

${\begin{aligned}\mu b_{2}+q{\frac {db_{2}}{dq}}=&-{\frac {2\mu b_{1}}{(\mu -2)q}}+{\frac {2\mu ^{2}b}{\mu -2}}\\&-{\frac {2}{\mu -2}}{\frac {db_{1}}{dq}}+{\frac {2b_{1}}{(\mu -2)q}}+{\frac {2\mu q}{\mu -2}}{\frac {db}{dq}}\,;\end{aligned}}$

on aura donc les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {2db}{dq}}\,=&\mu b_{1}+q{\frac {db_{1}}{dq}},\\{\frac {db_{1}}{dq}}=&2\mu b-{\frac {b_{1}}{q}}+2q{\frac {db}{dq}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tirera

${\begin{aligned}{\frac {db}{dq}}\ \,=&{\frac {b_{1}(\mu -1)+2\mu bq}{2\left(1-q^{2}\right)}}\\{\frac {db_{1}}{dq}}=&{\frac {2\mu bq+b_{1}(\mu q^{2}-1)}{q\left(1-q^{2}\right)}}.\end{aligned}}$

Ayant ainsi déterminé ${\frac {db}{dq}},{\frac {db_{1}}{dq}},{\frac {db_{2}}{dq}},\ldots$ en $b,b_{1},b_{2},\ldots ,$ on en conclura facilement, par la différentiation, les valeurs de ${\frac {d^{2}b}{dq^{2}}},{\frac {d^{2}b_{1}}{dq^{2}}},\ldots \,;$ et, en changeant $q$ en $h,$ on aura

$(b),\ \ (b_{1}),\ \ (b_{2}),\ \ \ldots \,;\ \ \left({\frac {db}{dq}}\right),\ \ \left({\frac {db_{1}}{dq}}\right),\ \ \ldots \,;\ \ \left({\frac {d^{2}b}{dq^{2}}}\right),\ \ \ldots .$

Soit

${\frac {a'}{a}}=i,$

ce qui donne

$h={\frac {2i}{1+i^{2}}},$