Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/449

$(b),\left({\frac {db}{dq}}\right),\left({\frac {d^{2}b}{dq^{2}}}\right),\ldots$ étant ce que deviennent $b,{\frac {db}{dq}},{\frac {d^{2}b}{dq^{2}}},\ldots$ lorsqu’on y substitue $h$ au lieu de $q\,;$ on aura pareillement

${\begin{aligned}b_{1}=&(b_{1})+\alpha h'\left({\frac {db_{1}}{dq}}\right)+{\frac {\alpha ^{2}h'^{2}}{1.2}}\left({\frac {d^{2}b_{1}}{dq^{2}}}\right)+\ldots ,\\b_{2}=&(b_{2})+\alpha h'\left({\frac {db_{2}}{dq}}\right)+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Il ne s’agit donc plus que d’avoir les valeurs de ${\frac {db}{dq}},{\frac {d^{2}b}{dq^{2}}},\ldots {\frac {db_{1}}{dq}},\ldots \,;$ or l’équation

${\frac {1}{\left(1+{\cfrac {a'^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]^{\mu }}}$

$=b+b_{1}\cos(\varphi '-\varphi )+b_{2}\cos(\varphi '-\varphi )+\ldots$

donne, en la différenciant par rapport à $q,$

${\frac {\mu \cos(\varphi '-\varphi )}{\left(1+{\cfrac {a'^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]^{\mu }\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]}}$

$={\frac {db}{dq}}+{\frac {db_{1}}{dq}}\cos(\varphi '-\varphi )+\ldots \,;$

partant,

$\mu \cos(\varphi '-\varphi )\left[b+b_{1}\cos(\varphi '-\varphi )+b_{2}\cos 2(\varphi '-\varphi )+\ldots \right]$

$=\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {db}{dq}}+{\frac {db_{1}}{dq}}\cos(\varphi '-\varphi )+{\frac {db_{2}}{dq}}\cos 2(\varphi '-\varphi )+\ldots \right].$

De là, en faisant les multiplications et réduisant les produits de cosinus en cosinus, on aura, en comparant séparément les coefficients constants, ceux des cosinus de l’angle $(\varphi '-\varphi )$ et de ses multiples,

${\begin{aligned}2{\frac {db}{dq}}\ \,=&\quad \mu b_{1}+q{\frac {db_{1}}{dq}},\\2{\frac {db_{1}}{dq}}=&2\left(\mu b+q{\frac {db}{dq}}\right)+\mu b_{2}+q{\frac {db_{2}}{dq}},\\2{\frac {db_{2}}{dq}}=&\quad \,\mu b_{1}+q{\frac {db_{1}}{dq}}+\mu b_{3}+q{\frac {db_{3}}{dq}},\\2{\frac {db_{3}}{dq}}=&\quad \,\mu b_{2}+q{\frac {db_{2}}{dq}}+\mu b_{4}+q{\frac {db_{4}}{dq}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$