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2^o au lieu de $\mathrm {P} ',$ de substituer $\delta \mu 'a^{3}n^{2}\,;$ car, en négligeant les quantités de l’ordre $\delta \mu ,$ on a

${\frac {\mathrm {S} }{a^{3}}}=n^{2}\qquad$et$\qquad \delta \mu '=\mathrm {\frac {P'}{S}} \,;$

3^o au lieu de $c,$ d’écrire

$na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right).$

On comparera ensuite séparément les termes sans $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ l’équation (16) en donnera donc trois autres entre $x,x'$ et ${\text{ϐ}}\,;$ l’équation (17) en donnera trois entre $y,y'$ et $\lambda \,;$ et l’équation (18) en donnera un en $z.$

Les substitutions précédentes n’ont de difficultés que celles qui peuvent venir du développement de ${\frac {1}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\,;$ il ne sera donc pas inutile de faire quelques remarques à ce sujet.

XIII.

$\sideset {^{1}}{}v$ exprimant la distance de $\mathrm {P}$ à $\mathrm {P} ',$ on a, comme il est facile de s’en assurer,

$\sideset {^{1}}{^{2}}v=r^{2}-2rr'coss(vf'-vf)+r'^{2}+(r's'-rs)^{2},$

donc

${\frac {1}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}={\frac {1}{\left[r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}{\frac {1}{\left[1-{\cfrac {2rr'\cos(\varphi '-\varphi )}{r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}}}\right]^{\frac {3}{2}}}}\,;$

soit, pour abréger,

${\frac {2rr'}{r^{2}+r'^{2}+(r's'-rs)^{2}}}=q,$

on aura (voir la première pièce de M. Euler sur Jupiter et Saturne, ou le premier Volume du Calcul intégral de cet illustre auteur)

${\frac {1}{\left(1+{\cfrac {a'^{2}}{a^{2}}}\right)^{\frac {3}{2}}\left[1-q\cos(\varphi '-\varphi )\right]^{\mu }}}$

$=b+b_{1}\cos(\varphi '-\varphi )+b_{2}\cos 2(\varphi '-\varphi )+b_{3}\cos 3(\varphi '-\varphi )+\ldots ,$