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l’inclinaison de l’orbite sur le plan fixe ; donc, si l’on nomme $\sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }$ la surface de l’orbite projetée, on aura, en portant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\sideset {^{1}}{}{\mathrm {E} }=a^{2}\pi \left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{2}}\left(1+\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}=a^{2}\pi \left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)={\frac {1}{2}}c\mathrm {T} \,;$

mais, par l’article IX,

$\mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}}\,;$

donc

$c={\sqrt {a(\mathrm {S+P} )}}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)=na^{2}\left(1-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}e^{2}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right).$

Les expressions précédentes de $\varphi ,r$ et $s$ satisfont aux équations (10), (11) et (12), lorsqu’on y suppose $\delta \mu '=0,\ \delta \mu ''=0,\ldots .$ Ce sont, par conséquent, les valeurs de $\mathrm {M,N}$ et $\mathrm {Q}$ des équations (>). Pour déterminer présentement $\mathrm {M',N'}$ et $\mathrm {Q} ',$ il faut différentier les équations (13), (14) et (15) par rapport à $\delta ,$ et leur ajouter les termes multipliés par $\mathrm {P} '$ dans les équations (10), (11) et (12), ce qui donne

(16)

${\frac {d\delta \varphi }{dt}}={\frac {\delta c}{r^{2}}}-{\frac {2c\delta r}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {P} '}{r^{2}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right],$

$(17)\left\{{\begin{aligned}0={\frac {d^{2}\delta r}{dt^{2}}}&-{\frac {2c\delta c}{r^{3}}}+{\frac {3c^{2}\delta r}{r^{4}}}-{\frac {2(\mathrm {S+P} )\delta r}{r^{3}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {3(\mathrm {S+P} )s\delta s}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {5}{2}}}}\\&-{\frac {2c\mathrm {P} '}{r^{3}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {P} '}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\left[r-r'\cos(\varphi '-\varphi )\right]+{\frac {\mathrm {P} '\cos(\varphi '-\varphi )}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},\end{aligned}}\right.$

$(18)\left\{{\begin{aligned}0={\frac {d^{2}\delta s}{dt^{2}}}&+{\frac {2drd\delta s}{rdt^{2}}}+{\frac {2dsd\delta r}{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}\delta s}{r^{4}}}+{\frac {2sc\delta c}{r^{4}}}-{\frac {4c^{2}s\delta r}{r^{5}}}\\&+{\frac {2c\mathrm {P} 's}{r^{4}}}\int rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]\\&+{\frac {\mathrm {P} '}{r}}\left[s'-s\cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\right].\end{aligned}}\right.$