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les équations (10), (11) et (12) se changeraient dans celles-ci :

(13)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c}{r^{2}}},$

(14)

$0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {c^{2}}{r^{3}}}+{\frac {\mathrm {S+P} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}},$

(15)

$0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {c^{2}s}{r^{4}}}.$

Ces équations sont celles qui auraient lieu si les planètes n’agissaient point les unes sur les autres ; leurs intégrales sont donc, par l’article IX

$(\sigma )\quad \left\{{\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {A} +\theta +nt-2\alpha e\sin(nt+\theta )\\&\quad +{\frac {5}{4}}\alpha ^{2}e^{2}\sin(2nt+2\theta )+\ldots -{\frac {1}{4}}\alpha ^{2}\gamma ^{2}\sin(2nt+2\varpi ),\\r=&a\left[1+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}-{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}+\alpha e\cos(nt+\theta )\right.\\&\quad \ \quad \left.-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}\cos(2nt+2\theta )+\ldots +{\frac {\alpha ^{2}\gamma ^{2}}{4}}\cos(2nt+2\varpi )\right],\\s=&\alpha \gamma \sin(nt+\varpi )+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

$\alpha$ étant très petit.

Ces trois valeurs de $\varphi ,r$ et $s$ semblent renfermer sept constantes arbitraires $\mathrm {A} ,e,\theta ,a,n,\gamma ,\varpi ,$ quoiqu’il ne puisse y en avoir que six, le mouvement du corps $\mathrm {P}$ étant déterminé par trois équations différentielles du second ordre ; mais il faut observer qu’il existe (art. IX) entre $n$ et $a$ une relation exprimée par cette équation $n^{2}={\frac {\mathrm {S+P} }{a^{3}}},$ ce qui réduit les deux arbitraires $n$ et $a$ à une seule ; de plus, quoique la constante arbitraire $c$ de l’équation ([3) ne paraisse pas entrer dans les valeurs de $\varphi ,r$ et $s,$ elle y est cependant implicitement renfermée en vertu d’une équation qui existe entre $c,a,e$ et $\gamma \,;$ en effet, puisque l’on a $r^{2}d\varphi =cdt,$ si l’on nomme $\mathrm {T}$ le temps d’une révolution entière de $\mathrm {P} ,$ on aura $c\mathrm {T} =\int r^{2}d\varphi \,;$ mais il est visible que $\int r^{2}d\varphi$ est égal au double de la surface de l’orbite projetée de la planète ; or, cette surface est à celle de l’orbite réelle comme le rayon est au cosinus de