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(11)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}\\&-{\frac {1}{r^{3}}}\left\langle c+\int \left\{\mathrm {P} 'rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]+\mathrm {P} ''\ldots \right\}\right\rangle ^{2}\\&+{\frac {\mathrm {(S+P)} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} '{\frac {r-r'\cos(\varphi '-\varphi )}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}+{\frac {\mathrm {P} '\cos(\varphi '-\varphi )}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}+\mathrm {P} ''\ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

(12)

$\left\{{\begin{aligned}&0={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}\\&+{\frac {s}{r^{4}}}\left\langle c+\int \left\{\mathrm {P} 'rdt\sin(\varphi '-\varphi )\left[{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}-{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\right]+\mathrm {P} ''\ldots \right\}\right\rangle ^{2}\\&+{\frac {\mathrm {P} '}{r}}\left[s'-s\cos(\varphi '-\varphi )\right]\left[{\frac {1}{r'^{2}\left(1+s'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}-{\frac {r'}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\right]+{\frac {\mathrm {P} ''}{r}}\ldots .\end{aligned}}\right.$

XI.

Les observations nous ont appris que les planètes se meuvent dans des orbites presque circulaires et peu inclinées les unes aux autres, et que les perturbations que ces corps éprouvent en vertu de leur action réciproque sont presque insensibles, puisque leurs mouvements sont à très peu près les mêmes que si le Soleil seul agissait sur elles. Il faut donc que leurs masses soient extrêmement petites relativement à celle du Soleil ; ainsi, nommant $\delta \mu ,\delta \mu ',\delta \mu '',\ldots$ les rapports des masses de $\mathrm {P,P',P''} ,\ldots$ à celle du Soleil, je considérerai ces quantités comme infiniment petites, et je négligerai leurs carrés et leurs puissances supérieures, en sorte que, dans les expressions de $\varphi ,r,s,$ je n’aurai égard qu’aux termes de l’ordre $\delta \mu ,$ ce qui donne, pour ces variables, des expressions de cette forme

(>)

$\left\{{\begin{aligned}\varphi =&\mathrm {M+M'\delta \mu '+M''} \delta \mu ''+\ldots ,\\r=&\mathrm {N\ +N'\delta \mu '\,+N''} \delta \mu ''\,+\ldots ,\\s=&\mathrm {Q\ +Q'\delta \mu '\,+Q''} \delta \mu ''\,+\ldots .\end{aligned}}\right.$

On peut supposer $\delta \mu ''=0,\delta \mu '''=0,\ldots ,$ et déterminer dans cette supposition $\mathrm {M',N',Q'} \,;$ car $\mathrm {M'',N'',Q'',M'''} ,\ldots$ peuvent s’en déduire aisément en y changeant les quantités relatives à la planète $\mathrm {P} '$ dans celles qui sont relatives aux planètes $\mathrm {P'',P'''} ,\ldots .$

Cela posé, si l’on avait $\delta \mu '=0$ ou, ce qui revient au même, $\mathrm {P} '=0,$