Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/441

au moyen desquelles il faut déterminer le mouvement de la planète $\mathrm {P} \,;$ pour cela, il est nécessaire de connaître les forces $\psi ,\psi ',\psi '',$ dont elle est animée ; or, cette planète est d’abord attirée vers le Soleil par une force égale à ${\frac {\mathrm {S} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)}}\,;$ de plus, elle attire le Soleil avec une force égale à ${\frac {\mathrm {P} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)}},$ et, puisque nous cherchons le mouvement relatif de la planète autour du Soleil, il faut considérer cet astre comme immobile et transporter à la planète, en sens contraire, la force ${\frac {\mathrm {P} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)}}\,;$ ainsi cette planète sera attirée vers $\mathrm {S}$ par une force égale à ${\frac {\mathrm {S+P} }{r^{2}\left(1+s^{2}\right)}}\,;$ en la décomposant en deux, l’une parallèle au rayon vecteur et tendante à éloigner $\mathrm {P}$ de $\mathrm {S} ,$ et l’autre perpendiculaire au plan fixe et tendante à élever la planète au-dessus de ce plan, on aura, pour la première,

${\frac {-(\mathrm {S+P} )}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

et pour la seconde

${\frac {-(\mathrm {S+P} )s}{r^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}.$

Imaginons ensuite une autre planète $\mathrm {P} ',$ pour laquelle nous nommerons $\varphi ',r'$ et $s'$ ce que nous avons nommé $\varphi ,r$ et $s$ pour $\mathrm {P} \,;$ soit $\sideset {^{1}}{}v$ la distance de $\mathrm {P}$ à $\mathrm {P'\,;\ P'}$ attirera $\mathrm {P}$ avec une force égale à ${\frac {\mathrm {P} '}{\sideset {^{1}}{^{2}}v}}\,;$ il faut décomposer cette force en deux, l’une perpendiculaire au plan fixe, et l’autre parallèle à la projection de la droite $\sideset {^{1}}{}v$ sur ce plan ; or, la première est égale à ${\frac {r's'-rs}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\mathrm {P} ',$ et la seconde est égale à ${\frac {v_{1}\mathrm {P} '}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}},$ en nommant $v_{1},$ la projection de $\sideset {^{1}}{}v\,;$ si l’on décompose cette dernière force en deux autres, l’une parallèle, et l’autre perpendiculaire à $r,$ on trouvera, pour la première,

${\frac {\left[r'\cos(\varphi '-\varphi )-r\right]}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\mathrm {P} ',$

et pour la seconde

${\frac {r'\sin(\varphi '-\varphi )}{\sideset {^{1}}{^{3}}v}}\mathrm {P} '.$