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partant,

$d\varphi ={\frac {hdt}{r^{2}}}={\frac {ndt}{\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\left[1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )\right]^{2}.$

Pour déterminer $\varphi$ en $t,$ je suppose l’origine des angles $\varphi$ et $nt$ à l’aphélie, en sorte que la planète parte de ce point au premier instant de son mouvement, on aura $\varepsilon =0\,;$ soit

$\varphi =nt+\alpha z+\alpha ^{2}z'+\ldots ,$

on aura, en réduisant $\cos(\varphi +\varepsilon )$ ou $\cos \left(nt+\alpha z+\alpha ^{2}z'+\ldots \right)$ et ${\frac {1}{\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ en suites ascendantes par rapport à $\alpha ,$

${\begin{aligned}d\varphi =&ndt+\alpha dz+\alpha ^{2}dz'+\ldots ,\\=&dt\left(1-2\alpha e\cos nt+2\alpha ^{2}e^{2}+\ldots +2\alpha ^{2}ez\sin nt+{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{2}}\cos 2nt\right).\end{aligned}}$

De là je conclus, en comparant ensemble les termes de l’ordre $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha ^{2},\ldots ,$

${\begin{aligned}dz=&-2endt\cos nt,\\dz'=&ndt\left(2e^{2}+2ez\sin nt+{\frac {e^{2}}{2}}\cos 2nt\right),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En intégrant ces équations et faisant en sorte que $z,z',\ldots$ soient nuls avec $t,$ on aura

${\begin{aligned}z\ =&-2e\sin nt,\\z'=&{\frac {5}{4}}e^{2}\sin 2nt,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

donc

$\varphi =nt-2\alpha e\sin nt+{\frac {5}{4}}\alpha ^{2}e^{2}\sin 2nt+\ldots .$

Pour déterminer présentement $r$ en $t,$ j’observe que l’équation $dt={\frac {r^{2}d\varphi }{h}}$ donne

$r={\sqrt {\frac {hdt}{d\varphi }}}={\frac {a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{4}}}{\left(1-2\alpha e\cos nt+{\cfrac {5}{2}}\alpha ^{2}e^{2}\cos 2nt+\ldots \right)^{\frac {1}{2}}}}\,;$