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partant,

$h={\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}.$

Si l’on reprend l’équation $dt={\frac {r^{2}d\varphi }{h}},$ en nommant $\mathrm {T}$ le temps d’une révolution entière de $\mathrm {P} ,$ et $\mathrm {E}$ la surface de l’ellipse que décrit cette planète, on aura $\mathrm {T} ={\frac {2\mathrm {E} }{h}}\,;$ mais, si l’on désigne par $\pi$ le rapport de la demi circonférence au rayon, on a

$\mathrm {E} =a^{2}\pi {\sqrt {\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\,;$

donc, si, dans l’expression de $\mathrm {T} ,$ on substitue au lieu de $\mathrm {E}$ et de $h$ leurs valeurs, on aura

$\mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}}.$

En négligeant $\mathrm {P}$ par rapport à $\mathrm {S} ,$ on a

$\mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}}\,;$

et en marquant d’un, de deux, etc. traits relativement à $\mathrm {P',P''} ,\ldots$ les quantités $\mathrm {T}$ et $a,$ on aura

$\mathrm {T} '={\frac {2\pi a'^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \mathrm {T} ''={\frac {2\pi a''^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S} }}},\qquad \ldots .$

Donc

$\mathrm {T':(T')^{2}:(T'')^{2}} :\ldots ::a^{3}:(a')^{3}:(a'')^{3}:\ldots .$

Soit $nt$ le moyen mouvement de $\mathrm {P}$ autour du Soleil, en sorte que l’on ait $\varphi$ égal à $nt,$ plus à une fonction de quantités périodiques, on aura

$n\mathrm {T} =360^{\circ }=2\pi \,;$

donc, puisque

$\mathrm {T} ={\frac {2\pi a^{\frac {3}{2}}}{\sqrt {\mathrm {S+P} }}},$

on aura

$n^{2}={\frac {\mathrm {S+P} }{a^{3}}}$

et

$h={\sqrt {(\mathrm {S+P} )a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}=na^{2}\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)^{\frac {1}{2}},$