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on aura ainsi les trois équations

$dt={\frac {r^{2}d\varphi }{h}},\qquad {\frac {d^{2}u}{d\varphi ^{2}}}+u-{\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}\left(1+s^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}s}{d\varphi ^{2}}}+s=0.$

${\frac {r^{2}d\varphi }{2}}$ étant le petit secteur décrit par le rayon vecteur $r,$ durant l’élément du temps $dt\,;$ la première de ces trois équations nous apprend que les aires décrites par les rayons vecteurs sont proportionnelles aux temps ; la troisième équation donne, en l’intégrant,

$s=\alpha \gamma \sin(\varphi +\varpi ),$

$\alpha \gamma$ et $\varpi$ étant deux constantes arbitraires ; et la seconde donne

$u={\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}\left(1+\alpha ^{2}\gamma ^{2}\right)}}{\sqrt {1+s^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon ),$

$ms$ et $\varepsilon$ étant constants et arbitraires. L’expression de $s$ montre que l’orbite est dans un plan invariable, dont la tangente d’inclinaison au plan fixe est $\alpha \gamma ,$ ce qui d’ailleurs est visible. Je suppose donc que le plan fixe soit celui de cette orbite, on aura $s=0$ et $\alpha \gamma =0\,;$ donc

$u={\frac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon )$

et

$r={\frac {1}{{\cfrac {\mathrm {S+P} }{h^{2}}}+m\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;$

mais si l’on nomme $a$ le demi-grand axe d’une ellipse, $\alpha ea$ son excentricité, $r$ le rayon vecteur mené d’un des foyers à la courbe, $\varphi +\varepsilon$ l’angle compris entre le rayon vecteur et la plus grande des deux parties du grand axe divisé inégalement par le foyer, on a, comme l’on sait.

$r={\frac {a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}{1-\alpha e\cos(\varphi +\varepsilon )}}\,;$

d’où, en comparant cette expression de $r$ à la précédente, on aura

$m={\frac {-\alpha e}{a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)}}\qquad$et$\qquad {\frac {h^{2}}{\mathrm {S+P} }}=a\left(1-\alpha ^{2}e^{2}\right)\,;$