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mais il faut observer qu’alors la force $\psi$ est parallèle à $r$ et tend à l’augmenter, et que la force $\psi '$ est perpendiculaire à cette droite et tend à augmenter l’angle $\varphi \,;$ or, comme les équations précédentes ne renferment que les différentielles de cet angle, on peut en fixer où l’on voudra l’origine sur le plan fixe.

Si l’on multiplie l’équation (5) par $r,$ et qu’on l’intègre, on aura

${\frac {r^{2}d\varphi }{dt}}=c+\int \psi 'rdt,$

$c$ étant une constante arbitraire ; donc

(7)

${\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {c+\int \psi 'rdt}{r^{2}}}\,;$

l’équation (4) deviendra, en y substituant cette valeur de ${\frac {d\varphi }{dt}},$

(8)

${\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {\left(c+\int \psi 'rdt\right)^{2}}{r^{3}}}-\psi =0\,;$

et si dans l’équation (6) on substitue, au lieu de $d^{2}r,$ sa valeur tirée de l’équation (8), on aura

(9)

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {2dsdr}{rdt^{2}}}+{\frac {s\left(c+\int \psi 'rdt\right)^{2}}{r^{4}}}+{\frac {s\psi -\psi ''}{r}}=0\,;$

au moyen des équations (7), (8) et (9), on déterminera le mouvement du corps dans l’espace.

Je suppose qu’au lieu de $dt$ on veuille prendre $d\varphi$ pour constant, on mettra l’équation (5) sous cette forme

$r{\frac {d\varphi }{dt}}+2dr{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=\psi 'd\varphi \,;$

si l’on multiplie cette équation par $2r^{3},$ le premier membre devient intégrale, et l’on a

$r^{4}{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}=h^{2}+2\int r^{3}\psi 'd\varphi ,$