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axe des $x,$ et l’autre axe des $y\,;$ soit de plus $z$ la distance du corps à ce plan, sa position sera déterminée par les trois coordonnées $x,ys$ et $z\,;$ cela posé, si l’on réduit toutes les forces dont il est animé à trois autres parallèles aux axes des $x,$ des $y$ et des $z$ que l’on nomme $\psi$ la première, $\psi '$ la seconde et $\psi ''$ la troisième, on aura, en prenant l’élément $dt$ du temps pour constant, et supposant que les forces $\psi ,\psi '$ et $\psi ''$ tendent à augmenter les $x,$ les $y$ et les $z,$

(1)

$d^{2}x=\psi dt^{2},$

(2)

$d^{2}y=\psi 'dt^{2},$

(3)

$d^{2}z=\psi ''dt^{2}.$

Maintenant, par l’origine $\mathrm {S}$ des $x$ et des $y$ je mène au point de projection du corps sur le plan fixe une droite que je représente par $r,$ et que dans la suite je nommerai rayon vecteur ; je nomme ensuite $\varphi$ l’angle formé par cette droite et par l’axe des $x,$ et $s$ la tangente de la latitude du corps vu du point $\mathrm {S} \,;$ on aura

${\begin{aligned}x=&r\cos \varphi ,\\y=&r\sin \varphi ,\\z=&rs\,;\end{aligned}}$

partant,

${\begin{aligned}d^{2}x=&d^{2}r\cos \varphi -2drd\varphi \sin \varphi -rd^{2}\varphi \sin \varphi -rd\varphi ^{2}\cos \varphi ,\\d^{2}y=&d^{2}r\sin \varphi +2drd\varphi \cos \varphi +rd^{2}\varphi \cos \varphi -rd\varphi ^{2}\sin \varphi ,\\d^{2}z=&rd^{2}s+2dsdr+sd^{2}r.\end{aligned}}$

Or, si l’on suppose que l’axe des $x$ soit infiniment près de la droite $r,$ on aura

$\varphi =0,\qquad \sin \varphi =0,\qquad \cos \varphi =1,$

partant,

$d^{2}x=d^{2}r-rd\varphi ^{2},\qquad d^{2}y=rd^{2}\varphi +2drd\varphi \,;$

les équations (1), (2) et (3) deviendront conséquemment

(4)

$\qquad \qquad \ \ d^{2}r-rd\varphi ^{2}-\psi dt^{2}=0,$

(5)

$\qquad \quad rd^{2}\varphi +2drd\varphi -\psi 'dt^{2}=0,$

(6)

$d^{2}s+{\frac {2dsdr}{r}}+s{\frac {d^{2}r}{r}}-{\frac {\psi ''}{r}}dt^{2}=0\,;$