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et l’on a, par ce qui précède, les deux équations

${\begin{aligned}0=&(da-btdp)\sin pt+(db+atdp)\cos pt,\\0=&(adp-pda-pbtdp)\cos pt-(bdp+pdb+patdp)\sin pt.\end{aligned}}$

La supposition de $t$ extrêmement grand fait disparaître le terme $adp\cos pt$ devant $-patdp\sin pt\,;$ il peut donc être négligé, ainsi que le terme $-bdp\sin pt\,;$ on aura ainsi les deux équations

${\begin{aligned}0=&(da-btdp)\sin pt+(db+atdp)\cos pt,\\0=&(da-btdp)\cos pt-(db+atdp)\sin pt.\end{aligned}}$

Je multiplie la première par $\sin pt$ et la seconde par $\cos pt,$ et je les ajoute, ce qui donne

$0=da-btdp\,;$

je multiplie ensuite la seconde par $\sin pt$ et je la retranche de la première multipliée par $\cos pt,$ ce qui donne

$0=db+atdp\,;$

soit $tdp=ds,$ on aura

$0=da-bds,\qquad 0=db+ads,$

d’où l’on tire, en intégrant,

$a=f\sin(s+\varpi ),\qquad b=f\cos(s+\varpi ),$

$f$ et $\varpi$ étant deux constantes arbitraires ; donc

$z=f\sin(s+\varpi )\sin pt+f\cos(s+\varpi )\cos pt=f\cos(pt-s-\varpi )\,;$

or

$s=\int tdp=pt-\int pdt=pt-{\frac {m}{\alpha }}\sin(\alpha t+\varepsilon )\,;$

donc

$z=f\cos \left[-\varpi +{\frac {m}{\alpha }}\sin(\alpha t+\varepsilon )\right]\,:$

c’est l’expression de $z,$ en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha$ qui restent toujours fort petites, quel que soit le temps $t$.