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$\delta p,\delta q,\ldots ,a,b,\ldots$ croissent des quantités $\delta a,\delta b,\ldots \,;\delta p,\delta q,\ldots ,$$\delta a,\delta b,\ldots$ étant extrêmement petits ; on aura, comme l’on sait, en négligeant les quantités de l’ordre $\delta ^{2},$

${\begin{aligned}z=\varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )&+\delta p{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )}{\partial p}}\\&+\delta q{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots ,a,b,\ldots )}{\partial q}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+\delta a{\frac {\partial \varphi (t,p,q,\ldots )}{\partial a}}\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

$p,q,\ldots ,a,b,\ldots$ étant les valeurs de $p,q,\ldots ,a,b,\ldots$ à l’origine de l’intégrale ; en regardant conséquemment $p,q,\ldots ,a,b,\ldots$ comme constants, on néglige, dans l’expression de $z,$ la quantité

$\delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}+\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}+\delta b{\frac {\partial z}{\partial b}}+\ldots .$

Faisant donc en sorte que cette erreur soit nulle, on aura l’équation

$0=\delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}+\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}+\ldots ,$

la même que nous avons trouvée précédemment. En raisonnant sur les valeurs de ${\frac {\partial z}{\partial t}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}},\ldots$ comme nous venons de le faire sur celle de $z,$ nous aurons les autres équations.

Exemple. – Je suppose que l’on veuille intégrer l’équation différentielle

${\frac {\partial ^{2}z}{\partial t^{2}}}+p^{2}z=0,$

$p$ étant une quantité croissant très lentement, et telle que l’on ait

$p=m\cos(\alpha t+\varepsilon ),$

$\alpha$ étant extrêmement petit ; j’intègre d’abord cette équation en supposant $p$ constant, ce qui donne

$z=a\sin pt+b\cos pt\,;$