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et, au commencement de l’intervalle compris entre $t=h+\mathrm {T}$ et $t=h+\mathrm {T+T'} ,$

${\begin{aligned}z=&\varphi \ \ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\{\frac {dz}{dt}}\ =&\varphi '\ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\varphi ''(h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Ces valeurs de $z,{\frac {dz}{dt}},\ldots$ sont les mêmes à la fin du premier intervalle qu’au commencement du second ; on aura donc les équations

$(\sigma )\quad \left\{{\begin{aligned}\varphi \ (h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots )=&\varphi \ (h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\varphi '(h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots )=&\varphi '(h+\mathrm {T} ,p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}\right.$

Si $p,q,\ldots$ étaient invariables, on aurait

$a=a',\qquad b=b',\qquad \ldots \,;$

soit donc

$p'=p+\delta p,\qquad q'=q+\delta q,\qquad \ldots ,$

$\delta p,\delta q,\ldots$ étant des quantités extrêmement petites de l’ordre $\alpha \,;$ soit, de plus,

$a'=a+\delta a,\qquad b'=b+\delta b,\qquad \ldots ,$

$\delta a,\delta b,\ldots$ seront de l’ordre $\delta p,\delta q,\ldots \,;$ les équations $(\sigma )$ donneront, cela posé, en négligeant les quantités de l’ordre $\delta p^{2},$

${\begin{aligned}0=&\delta p{\frac {\partial z}{\partial p}}\quad \ \ +\delta q{\frac {\partial z}{\partial q}}\quad +\ldots +\delta a{\frac {\partial z}{\partial a}}\quad +\ldots +\delta b{\frac {\partial z}{\partial b}}\quad +\ldots ,\\0=&\delta p{\frac {\partial ^{2}z}{\partial p\partial t}}\ \ +\delta q{\frac {\partial ^{2}z}{\partial q\partial t}}+\ldots +\delta a{\frac {\partial ^{2}z}{\partial a\partial t}}+\ldots +\delta b{\frac {\partial ^{2}z}{\partial b\partial t}}+\ldots ,\\0=&\delta p{\frac {\partial ^{3}z}{\partial p\partial t^{2}}}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

les quantités ${\frac {\partial z}{\partial p}},{\frac {\partial z}{\partial q}},\ldots \,;{\frac {\partial z}{\partial a}},\ldots$ représentent les coefficients de $dp,dq,$$\ldots \,;$$da,\ldots$ dans la différentiation de $z$ en y faisant varier $p,q,\ldots \,;a,\ldots .$