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Pour cela, je suppose $t=h+\mathrm {T,\ T}$ étant extrêmement grand, mais tel cependant que, dans cet intervalle, les valeurs de $p,q,\ldots$ soient encore peu sensibles ; on peut faire usage de l’expression

$z=\varphi (t,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),$

depuis $t=h$ jusqu’à $t=h+\mathrm {T} .$ Si l’on voulait avoir la valeur de $z$ pour un intervalle plus considérable, par exemple lorsque $t=h+\mathrm {T} +t_{1},$ on aurait

$z=\varphi (h+\mathrm {T} +t_{1},p',q',\ldots \,;a',b',\ldots ),$

$p',q',\ldots \,;a',b',\ldots$ étant ce que deviennent $p,q,\ldots \,;a,b,\ldots$ après l’intervalle $\mathrm {T} \,;$ cette nouvelle valeur de $z$ peut être employée sans erreur sensible depuis $t_{1}=0$ jusqu’à $t_{1}=\mathrm {T',\ T'}$ étant tel que, dans cet intervalle, les variations de $p,q,\ldots$ soient encore fort petites ; en continuant d’opérer ainsi et prenant les valeurs de $z$ : 1^o depuis $t=h$ jusqu’à $t=h+\mathrm {T} \,;$ 2^o depuis $t=h+\mathrm {T}$ jusqu’à $t=h+\mathrm {T+T'} \,;$ 3^o depuis $t=h+\mathrm {T+T'}$ jusqu’à $t=h+\mathrm {T+T'+T''} ,$ etc., on aura l’expression de $z$ pour une valeur quelconque de $t\,;$ mais il faut, à chaque opération, déterminer les nouvelles constantes arbitraires $a',b',\ldots \,;a'',$$b'',\ldots$ qu’elle introduit ; or, de la même manière que les constantes artraires $a,b,\ldots$ se déterminent au moyen des valeurs de $z,{\frac {dz}{dt}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},\ldots ,$ lorsque $t=h,$ de même, les constantes arbitraires $a',b',\ldots$ doivent se déterminer au moyen de ces valeurs, lorsque $t=h+\mathrm {T} \,;$ soit donc

${\begin{aligned}{\frac {dz}{dt}}\ \ =&\varphi '\ (t,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\varphi ''(t,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On aura, à la fin de l’intervalle compris entre $t=h$ et $t=h+\mathrm {T} ,$

${\begin{aligned}z=&\varphi \ \ (h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),\\{\frac {dz}{dt}}\ =&\varphi '\ (h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=&\varphi ''(h+\mathrm {T} ,p,q,\ldots \,;a,b,\ldots ),\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$