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ait les deux équations

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ +h^{2}\ y\ =&\mathrm {T} +\alpha \,\ \left(\mathrm {T} 'y\,+\mathrm {T} ''{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {T} '''y'+\mathrm {T} ^{\text{ıv}}{\frac {dy'}{dt}}\right)\\&\quad +\alpha ^{2}\left(\mathrm {T} ^{\text{v}}y^{2}+\ldots \right)+\ldots ,\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+h'^{2}y'=&\mathrm {S} +\alpha \ \ \left(\mathrm {S} 'y'+\mathrm {S} ''{\frac {dy'}{dt}}+\mathrm {S} '''y\,+\mathrm {S} ^{\text{ıv}}{\frac {dy}{dt}}\right)\\&\quad +\alpha ^{2}\left(\mathrm {S} ^{\text{v}}y'^{2}+\ldots \right)+\ldots ,\end{aligned}}$

$\mathrm {T,T',\ldots \,;S,S',\ldots }$ étant des fonctions quelconques rationnelles et entières de sinus et de cosinus ; on fera

${\begin{aligned}y\,=&z+\alpha z'\ +\alpha ^{2}z''+\ldots ,\\y'=&u+\alpha u'+\alpha ^{2}u''+\ldots ,\end{aligned}}$

et l’on trouvera, pour $y$ et pour $y',$ deux expressions de cette forme

${\begin{aligned}y=\quad \sin h\ t&\left\{\,p+t\left[\mathrm {K} +\alpha \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq+\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{3}}{}a\sideset {^{1}}{}q\right)+\ldots \right]\right.\\&\ \quad +\left.t^{2}\left[\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]+\ldots \right\}\\+\cos h\ t&\left\{\,q+t\left[\mathrm {H} +\alpha \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp+\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{3}}{}b\sideset {^{1}}{}p\right)+\ldots \right]\right.\\&\ \quad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\}+\mathrm {R} ,\\\\y'=\quad \sin h't&\left\{\sideset {^{1}}{}p+t\left[\mathrm {M} +\alpha \left(c\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{2}}{}cp+\sideset {^{3}}{}cq\right)+\ldots \right]\right.\\&\ \ \quad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\}\\+\cos h't&\left\{\sideset {^{1}}{}q+t\left[\mathrm {N} +\alpha \left(e\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{1}}{}e\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{2}}{}eq+\sideset {^{3}}{}ep\right)+\ldots \right]\right.\\&\ \ \quad +\left.\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right\}+\sideset {^{1}}{}{\mathrm {R} },\end{aligned}}$

$p,q,\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étant les quatre constantes arbitraires des valeurs de $y,y',{\frac {dy}{dt}}$ et ${\frac {dy'}{dt}},$ lorsque $t=0\,;$ de là on tirera par la méthode de l’article cité les quatre équations

${\begin{aligned}{\frac {dp}{d\mathrm {T} }}\,\ =&\mathrm {K} \,+\alpha \left(a\,\ p+\sideset {^{1}}{}a\,q+\sideset {^{2}}{}a\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{3}}{}a\sideset {^{1}}{}q\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{4}}{}ap^{2}+\ldots \right)+\ldots ,\\{\frac {dq}{d\mathrm {T} }}\,\ =&\mathrm {H} \,+\alpha \left(b\ \ q+\sideset {^{1}}{}b\ \,p+\sideset {^{2}}{}b\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{3}}{}b\sideset {^{1}}{}p\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{4}}{}bq^{2}+\ldots \right)+\ldots ,\\{\frac {d\sideset {^{1}}{}p}{d\mathrm {T} }}=&\mathrm {M} +\alpha \left(c\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{1}}{}c\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{2}}{}c\ \,p+\sideset {^{3}}{}c\ \,q\right)+\ldots ,\\{\frac {d\sideset {^{1}}{}q}{d\mathrm {T} }}=&\mathrm {N} +\alpha \left(e\sideset {^{1}}{}q+\sideset {^{1}}{}e\sideset {^{1}}{}p+\sideset {^{2}}{}e\ \,q+\sideset {^{3}}{}e\ \,p\right)+\ldots .\end{aligned}}$