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Quant au produit $\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots ,$ on le déterminera facilement en considérant que l’équation

$x^{n}-\theta x^{n-1}+\sideset {^{1}}{}\theta x^{n-2}-\ldots =0$

peut être mise sous cette forme

$(x-f)\left(x-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(x-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots =0\,;$

en sorte que

$(x-f)\left(x-\sideset {^{1}}{}f\right)\ldots =x^{n}-\theta x^{n-1}+\ldots .$

Soit $x=f+\alpha ,\ \alpha$ étant supposé infiniment petit, et l’on aura, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et divisant par $\alpha ,$

$\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots =nf^{n-1}-(n-1)\theta f^{n-2}+(n-2)\,\sideset {^{1}}{}\theta f^{n-3}-\ldots .$

Maintenant on aura

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}h=&b\sin \varpi \cos \alpha fT+b\cos \varpi \sin \alpha fT+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}h=&b\cos \varpi \cos \alpha f\mathrm {T} -b\sin \varpi \sin \alpha f\mathrm {T} +\ldots .\end{aligned}}$

Donc l’équation $(\lambda ')$ de l’article III donne, en y supposant $t_{1}=0,$

${\begin{aligned}y=&\quad \ \ \ b\sin \ \ \varpi \sin(q-\alpha \ \ f)\mathrm {T} +\ \ b\cos \ \ \varpi \cos(q-\alpha \ \ f)\mathrm {T} \\&+\sideset {^{1}}{}b\sin \sideset {^{1}}{}\varpi \sin(q-\alpha \sideset {^{1}}{}f)\mathrm {T} +\sideset {^{1}}{}b\cos \sideset {^{1}}{}\varpi \cos(q-\alpha \sideset {^{1}}{}f)\mathrm {T} \\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&+{\frac {\alpha q\left[(0,1)+{\overline {(0,1)}}\right]}{2q'(q-q')}}\\&\qquad \times \left[b'\sin \varpi \sin(2q'-q-\alpha f)\mathrm {T} +b'\cos \varpi \cos(2q'-q-\alpha f)\mathrm {T} \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\\\end{aligned}}$

C’est la valeur de $y$ après le temps quelconque $\mathrm {T} .$

Si l’on voulait porter la précision jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on ferait varier les nouvelles constantes arbitraires $\mathrm {H,H',\ldots \,;\ L,L'} ,\ldots ,$ comme nous l’avons fait dans l’article I.

VI.

On pourrait encore étendre aux équations à un nombre quelconque de variables la méthode que nous avons donnée (art. II) pour une équation différentielle à deux variables ; je suppose, en effet, que l’on