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valeur de $b\sin \varpi ,\ f$ en $\sideset {^{1}}{}f,\sideset {^{2}}{}f,\ldots ,$ et réciproquement. On aura de la même manière

${\begin{aligned}b'\,\sin \varpi =&{\frac {\mathrm {H} '_{n-1}-{\text{ϐ}}\mathrm {H} '_{n-2}+\gamma \mathrm {H} '_{n-3}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots \left(f-\sideset {^{n-1}}{}f\right)}},\\b''\sin \varpi =&{\frac {\mathrm {H} ''_{n-1}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\ldots }},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

et l’on en conclura $\sideset {^{1}}{}b'\sin \sideset {^{1}}{}\varpi ,\sideset {^{2}}{}b'\sin \sideset {^{2}}{}\varpi ,\ldots \,;\ \sideset {^{1}}{}b''\sin \sideset {^{1}}{}\varpi ,\sideset {^{2}}{}b''\sin \sideset {^{2}}{}\varpi ,\ldots$ en y changeant successivement $f$ en $\sideset {^{1}}{}f,\sideset {^{2}}{}f,\ldots ,$ et réciproquement.

De plus, il est aisé de voir, par la nature des équations $(\Gamma ),$ qu’il suffit pour avoir $b\cos \varpi$ de changer dans l’expression précédente de $b\sin \varpi ,\ \mathrm {H,H'} ,\ldots$ en $\mathrm {L,L'} ,\ldots \,;$ désignant donc par $\mathrm {L} _{n-1},\mathrm {L} _{n-2},\ldots$ des fonctions en $\mathrm {L,L'} ,\ldots$ pareilles à celles de $\mathrm {H} _{n-1},\mathrm {H} _{n-2},\ldots$ en $\mathrm {H,H'} ,\ldots ,$ on aura

$b\cos \varpi ={\frac {\mathrm {L} _{n-1}-{\text{ϐ}}\mathrm {L} _{n-2}+\gamma \mathrm {L} _{n-3}-\ldots }{\left(f-\sideset {^{1}}{}f\right)\left(f-\sideset {^{2}}{}f\right)\ldots }},$

et de là on conclura facilement $\sideset {^{1}}{}b\cos \sideset {^{1}}{}\varpi ,\sideset {^{2}}{}b\cos \sideset {^{2}}{}\varpi ,\ldots \,;b'\cos \varpi ,\ldots .$

Les quantités ϐ$,\gamma ,\lambda$ peuvent se déterminer aisément de cette manière : soit

$x^{n}-\theta x^{n-1}+\sideset {^{1}}{}\theta x^{n-2}-\sideset {^{2}}{}\theta x^{n-3}+\sideset {^{3}}{}\theta x^{n-4}-\ldots =0$

l’équation dont les différentes racines sont $f,\sideset {^{1}}{}f,\sideset {^{2}}{}f,\ldots ,$ on aura, en divisant cette équation par $x-f,$

$x^{n-1}-{\text{ϐ}}x^{n-2}+\gamma x^{n-3}-\lambda x^{n-4}+\ldots =0\,;$

donc, en multipliant cette dernière équation par $x-f,$ et la comparant terme à terme à la première, on aura

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}+\ \ \ f=&\theta ,\\\gamma +{\text{ϐ}}f=&\sideset {^{1}}{}\theta ,\\\lambda +\gamma f=&\sideset {^{2}}{}\theta ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \end{aligned}}$

ou

${\begin{aligned}{\text{ϐ}}=&\ \ \theta -f,\\\gamma =&\sideset {^{1}}{}\theta -{\text{ϐ}}f,\\\lambda =&\sideset {^{2}}{}\theta -\gamma f,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$