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relatifs à cinq équations avec la lettre $f,$ en observant : 1^o de n’admettre que les termes dans lesquels $e$ précède $f$ ; 2^o de changer de signe lorsque $f$ change de place ; on transformera ensuite, par la règle précédente, chaque terme dans un autre composé du produit des trois facteurs, chacun de deux dimensions et de deux termes, et l’on aura l’équation de condition demandée ; il en sera de même pour un nombre quelconque d’équations.

Il est aisé de voir qu’en effectuant les multiplications, les termes qui en résulteraient seraient tous différents les uns des autres, en sorte que, par ce procédé, on n’a aucun terme inutile ; on voit d’ailleurs qu’il abrège considérablement le calcul de l’équation de condition. Il faut présentement la démontrer, et, pour cela, nommons (R) l’équation de condition qu’il donne, et $\mathrm {R}$ celle qui résulte des méthodes de MM. Cramer et Bezout ; nommons de plus dérangements les cas dans lesquels $b$ précède $a,$ où $c$ précède $d,$ où $e$ précède $f,$ etc., en sorte qu’il y ait d’autant plus de dérangements dans un terme que cela y arrive de plus de manières. Cela posé, il est clair, d’après la formation de (R), que cette quantité renferme tous les termes de $\mathrm {R} \,;$ car (R) renferme : 1^o toutes les combinaisons possibles entre $a,b,c,\ldots ,$ dont le nombre des dérangements est nul ; 2^o toutes les combinaisons dont le nombre des dérangements est $1\,;$ 3^o toutes celles dont le nombre des dérangements est $2,$ et ainsi de suite ; donc (R) renferme tous les termes qui peuvent résulter de la combinaison de $n$ lettres $a,b,c,\ldots ,$ et, par conséquent, cette équation renferme les mêmes termes que $\mathrm {R} .$ D’ailleurs chaque terme de (R) a le même signe que son correspondant dans $\mathrm {R}$ : 1^o cela est évident pour les termes dont le nombre des dérangements est zéro, puisqu’ils sont formés de la même manière dans les deux équations ; 2^o ceux qui ont un dérangement ont des signes contraires aux premiers, et cela a pareillement lieu dans $\mathrm {R} ,$ puisqu’en changeant $b$ en $a,$ et réciproquement, ou $d$ en $c,$ et réciproquement, ou etc., le nombre des variations augmente ou diminue d’une unité, et, partant, le signe de chaque terme est différent ; 3^o les termes qui ont deux dérangements ont des signes contraires à ceux qui n’en