Combinez de la même manière toutes ces permutations avec la lettre et ainsi de suite, en employant autant de lettres qu’il y a d’inconnues cela posé, donnez dans chaque terme l’indice à la première lettre, l’indice à la seconde, l’indice à la troisième, etc., en égalant à zéro la somme de tous ces termes, vous aurez l’équation de condition demandée.
Cette règle est, comme l’on voit, d’un usage fort commode, et il est facile de s’assurer qu’elle retombe dans celle de M. Cramer. Cela est d’abord évident pour les deux permutations on les combine présentement avec la lettre il est aisé de voir qu’en écrivant dans ces deux termes la lettre la dernière, le nombre des variations dans chacun d’eux ne changera pas, aussi conservent-ils le même signe qu’ils avaient ; mais si, dans ces termes, on écrit la lettre l’avant dernière, le nombre de leurs variations est alors augmenté d’une unité, et, suivant la règle, ils changent de signe ; d’où il suit généralement que les termes dont le nombre des variations sera zéro ou pair auront le signe et les autres le signe D’ailleurs, le nombre des termes dont l’équation de condition est formée est, suivant les deux méthodes, égal à s’il y a lettres ; et tous ces termes sont différents les uns des autres ; donc l’équation de condition sera la même dans les deux cas. Nous allons présentement démontrer la règle de M. Bezout, comme étant la plus simple.
Si, au lieu de combiner d’abord la lettre avec la lettre ensuite ces deux-ci avec la lettre et ainsi de suite, c’est-à-dire si, au lieu de combiner les lettres dans l’ordre on les eût combinées dans l’ordre ou ou ou etc., je dis qu’on aurait toujours eu la même quantité, à la différence des signes près.
Pour démontrer ce théorème, nommons, en général, résultante la quantité qui résulte de l’une quelconque de ces combinaisons, en sorte que la première résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant l’ordre que la seconde résultante soit celle qui vient de la combinaison suivant l’ordre que la troi-
