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$\sideset {^{1}}{}h,\sideset {^{1}}{}l,\sideset {^{1}}{}h',\sideset {^{1}}{}l',\ldots$ étant des constantes arbitraires dépendantes des valeurs de $y,{\frac {dy}{dt_{1}}},y',{\frac {dy'}{dt_{1}}},\ldots$ lorsque $t_{1}=0\,;$ or, si l’on avait $\alpha =0,$ on aurait $\sideset {^{1}}{}h=h,\ \sideset {^{1}}{}l=l,\ \sideset {^{1}}{}h'=h',\ldots \,;$ donc $\sideset {^{1}}{}h$ ne diffère de $h,\ \sideset {^{1}}{}l$ de $l,\ldots$ que de quantités de l’ordre $\alpha \,;$ soit donc $\sideset {^{1}}{}h=h+\delta h,\ \sideset {^{1}}{}l=l+\delta l,\ldots ,$ et l’on aura, en comparant les équations $(\lambda )$ et $(\lambda ')$ et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\begin{aligned}\delta l=&-\alpha \mathrm {T} \left\{(0)h+h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\},\\\delta h=&\ \quad \alpha \mathrm {T} \left\{(0)l\ +l'\ \left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+l''\ \left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\}.\end{aligned}}$

Soit $\alpha \mathrm {T} =x\,;\ h$ et $l$ seront, comme l’on voit, fonctions de $x,$ et l’on aura

${\begin{aligned}\delta h=&x{\frac {dh}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}h}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\delta l=&x{\frac {dl}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}l}{dx^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

donc, en comparant les termes multipliés par $x,$ on aura

$(\chi )\left\{{\begin{aligned}&{\frac {dh}{dx}}\ =\quad (0)l\ +l'\ \left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+l''\ \left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl}{dx}}\ \,=-(0)h-h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]-h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]-\ldots ,\\&\mathrm {on\ trouvera\ de\ la\ m{\hat {e}}me\ mani{\grave {e}}re} \\&{\frac {dh'}{dx}}\,=\quad (1)l'+l\ \left[(1,0)-{\overline {(1,0)}}\right]+l''\ \left[(1,2)-{\overline {(1,2)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl'}{dx}}\,\ =-(0)h'-h\left[(1,0)-{\overline {(1,0)}}\right]-h''\left[(1,2)-{\overline {(1,2)}}\right]-\ldots ,\\&{\frac {dh''}{dx}}=\quad (2)l''+l\ \left[(2,0)-{\overline {(2,0)}}\right]+l'\ \left[(2,1)-{\overline {(2,1)}}\right]+\ldots ,\\&{\frac {dl''}{dx}}\ =-(2)h''-h\left[(2,0)-{\overline {(2,0)}}\right]-h'\left[(2,1)-{\overline {(2,1)}}\right]-\ldots .\end{aligned}}\right.$

Il ne s’agit plus maintenant que d’intégrer ces équations, et pour cela on fera, ainsi que M. de Lagrange l’a pratiqué dans un cas à peu près semblable (voir son excellente pièce Sur le mouvement des nœuds