Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/405

ce qui donne

$y=h\sin qt+l\cos qt,\qquad y'=h'\sin q't+l'\cos q't,\qquad \ldots ,$

$h,h',\ldots \,;\ l,l',\ldots$ étant des constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y,{\frac {dy}{dt}},y',{\frac {dy'}{dt}},\ldots ,$ lorsque $t=0.$

Je fais ensuite

${\begin{aligned}y\ =&h\ \sin qt\ +l\ \cos qt\ +\alpha z,\\y'=&h'\sin q't+l'\cos q't+\alpha z',\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

Je substitue ces valeurs dans les équations $(\Psi ),$ en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ elles donnent

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+q^{2}z=\\&\ \quad 2q\sin qt\left\{(0)h+h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\}\\&+2q\cos qt\left\{(0)l\ +l'\ \left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]+l''\ \left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\}\\&+\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]2q\left[h'\sin(2q'-q)t+l'\cos(2q'-q)t\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

On formera des équations analogues pour $z',z'',\ldots \,;$ on aura donc, en intégrant et ajoutant $\alpha z$ à la valeur précédente de $y.$

$(\lambda )\left\{{\begin{aligned}y&=\left\{h+\alpha t\left\langle (0)l+l'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]\right.\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left.+l''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\rangle \right\}\sin qt\\&+\left\{l-\alpha t\left\langle (0)h+h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]\right.\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \left.\left.+h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\rangle \right\}\cos qt\\&+{\frac {\alpha q\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]}{2q'(q-q')}}\left[h'\sin(2q'-q)t+l'\cos(2q'-q)t\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Si l’on suppose maintenant, dans les équations $(\Psi ),\ t=\mathrm {T} +t_{1},$ et qu’on les intègre, on trouvera facilement

$(\lambda ')\left\{{\begin{aligned}y&=\left\{\sideset {^{1}}{}h+\alpha t_{1}\left\langle (0)\sideset {^{1}}{}l+\sideset {^{1}}{}l'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]\right.\right.\\&\qquad \quad \qquad \qquad \qquad \left.\left.+\sideset {^{1}}{}l''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\rangle \right\}\sin q(\mathrm {T} +t_{1})\\&+\left\{\sideset {^{1}}{}l-\alpha t_{1}\left\langle (0)\sideset {^{1}}{}h+\sideset {^{1}}{}h'\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]\right.\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \quad \left.\left.+\sideset {^{1}}{}h''\left[(0,2)-{\overline {(0,2)}}\right]+\ldots \right\rangle \right\}\cos q(\mathrm {T} +t_{1})\\&+{\frac {\alpha q\left[(0,1)-{\overline {(0,1)}}\right]}{2q'(q-q')}}\\&\qquad \qquad \times \left[\sideset {^{1}}{}h'\sin(2q'-q)(\mathrm {T} +t_{1})+\sideset {^{1}}{}l'\cos(2q'-q)(\mathrm {T} +t_{1})\right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$