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III.

Jusqu’ici, je n’ai considéré que les équations différentielles à deux variables ; celles que j’ai intégrées dans l’article I sont fort simples, et par cette raison elles étaient propres à faire entendre cette nouvelle méthode ; mais les suivantes, qui, traitées par les méthodes déjà connues, conduiraient à des calculs impraticables, en feront sentir l’avantage, par la facilité avec laquelle elle donne leurs intégrales approchées ; comme ces équations sont à peu près du même genre que celles du mouvement des planètes, je vais les considérer ici avec étendue.

Je suppose que l’on ait entre les $n$ variables $y,y',y'',\ldots ,y^{n}$ les $n$ équations

$(\Psi )\ \ \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\ +q^{2}\ \ y\ =&2\alpha q\ \left\{{\begin{aligned}(0)y&+2\,(0,1)\quad y'\,\cos(q'-q)t\\&+2{\frac {\overline {(0,1)}}{q'}}{\frac {dy'}{dt}}\sin(q'\ -q)t\\&+2\,(0,2)\quad y''\cos(q''-q)t\\&+2{\frac {\overline {(0,2)}}{q''}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''-q)t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},\\\\{\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+q'^{2}\,y'\,=&2\alpha q'\,\left\{{\begin{aligned}(1)y'&+2\,(1,0)\quad y\ \,\cos(q\ \,-q')t\\&+2{\frac {\overline {(1,0)}}{q}}{\frac {dy}{dt}}\ \sin(q\,\ \ -q')t\\&+2\,(1,2)\quad y''\cos(q''-q')t\\&+2{\frac {\overline {(1,2)}}{q''}}{\frac {dy''}{dt}}\sin(q''-q')t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},\\\\{\frac {d^{2}y''}{dt^{2}}}+q''^{2}y''=&2\alpha q''\left\{{\begin{aligned}(2)y''&+2(2,0)\ y\ \cos(q-q'')t\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}\right.$

$(0),(0,1),{\overline {(0,1)}},(0,2),{\overline {(0,2)}},\ldots ,(1),(1,0),\ldots ,(2)\ldots$ étant des coefficients constants quelconques.

J’intègre d’abord les équations

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+q^{2}y=0,\qquad {\frac {d^{2}y'}{dt^{2}}}+q'^{2}y'=0,\qquad \ldots ,$