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$t=\mathrm {T} +t_{1},$ et égalant séparément les coefficients de $\sin ht$ et de $\cos ht,$

$(f)\quad \left\{{\begin{aligned}p+&(\mathrm {T} +t_{1})\left[\mathrm {K} +\alpha \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)+\ldots \right]+(\mathrm {T} +t_{1})^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&=p'+t_{1}\left[\mathrm {K} +\alpha \left(ap'+\sideset {^{1}}{}aq'\right)+\ldots \right]+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

$(f')\quad \left\{{\begin{aligned}q+&(\mathrm {T} +t_{1})\left[\mathrm {H} +\alpha \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)+\ldots \right]+(\mathrm {T} +t_{1})^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\&=q'+t_{1}\left[\mathrm {H} +\alpha \left(bq'+\sideset {^{1}}{}bp'\right)+\ldots \right]+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \right]\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\end{aligned}}\right.$

Je fais dans ces deux équations $t_{1}=0,$ et j’observe que l’on a

${\begin{aligned}p'=&p+\mathrm {T} {\frac {dp}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots ,\\q'=&q+\mathrm {T} {\frac {dq}{d\mathrm {T} }}+{\frac {\mathrm {T} ^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{d\mathrm {T} ^{2}}}+\ldots .\end{aligned}}$

Substituant ces valeurs de $p'$ et de $q'$ dans les deux équations précédentes, on aura, en comparant séparément les termes multipliés par $\mathrm {T} ,$ les deux suivantes :

${\begin{array}{ll}(h)&{\cfrac {dp}{d\mathrm {T} }}=\mathrm {K} +\alpha \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}ap^{2}+\sideset {^{3}}{}apq+\sideset {^{4}}{}aq^{2}\right)+\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}ap^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\\(h')&{\cfrac {dq}{d\mathrm {T} }}=\mathrm {H} +\alpha \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}bq^{2}+\sideset {^{3}}{}bpq+\sideset {^{4}}{}bp^{2}\right)+\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}bq^{3}+\ldots \right)+\ldots \,;\end{array}}$

il ne s’agit donc plus que d’intégrer ces deux équations ; or voici, pour cela, la méthode qui m’a paru la plus simple.

Soit

${\begin{aligned}&p=r+\alpha \left(fr^{2}+\sideset {^{1}}{}frs+\sideset {^{2}}{}fs^{2}\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{3}}{}fr^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\\&q=s+\alpha \left(gs^{2}+\sideset {^{1}}{}grs+\sideset {^{2}}{}gr^{2}\right)+\alpha ^{2}\left(\sideset {^{3}}{}gs^{3}+\ldots \right)+\ldots \,;\end{aligned}}$

en différenciant, on aura

${\begin{aligned}{\frac {dp}{d\mathrm {T} }}={\frac {dr}{d\mathrm {T} }}\left[1+\alpha \left(2fr+\sideset {^{1}}{}fs\right)+\ldots \right]+\alpha {\frac {ds}{d\mathrm {T} }}\left[\left(\sideset {^{1}}{}fr+2\sideset {^{2}}{}fs\right)+\ldots \right],\\{\frac {dq}{d\mathrm {T} }}={\frac {ds}{d\mathrm {T} }}\left[1+\alpha \left(2gs+\sideset {^{1}}{}gr\right)+\ldots \right]+\alpha {\frac {dr}{d\mathrm {T} }}\left[\left(\sideset {^{1}}{}gs+2\sideset {^{2}}{}gr\right)+\ldots \right]\,;\end{aligned}}$