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Ces équations seront au nombre de $n+1,$ si l’on veut pousser l’approximation jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{n}$ inclusivement ; on les intégrera facilement par les méthodes connues, en conservant les arcs de cercle, et l’on pourra, pour plus de simplicité, rejeter des valeurs de $z',z'',\ldots$ les termes de la forme ${\text{ϐ}}\sin ht$ et ${\text{ϐ}}\cos ht,\ {\text{ϐ}}$ étant constant ; car je suppose que dans la valeur de $z'$ on ait le terme ${\text{ϐ}}\sin ht\,;$ comme on peut ajouter à l’intégrale de l’équation différentielle en $z'$ le term $\mathrm {K} \sin ht,\ \mathrm {K}$ étant arbitraire, on pourra prendre $\mathrm {K}$ égal à $-{\text{ϐ}}\,;$ et dans ce cas, le terme $\sin ht$ disparaît. À la vérité, de cette manière, $z',z'',\ldots$ ne renferment point de constantes arbitraires ; mais, comme $z$ en renferme deux, la valeur de $y$ les renfermera pareillement ; partant, elle sera complète ; on aura ainsi pour $y$ une expression de cette forme

$(\mathrm {V} '')\left\{{\begin{aligned}y=&\sin ht\left\{{\begin{aligned}p&+t\,\ \left[\ \ \mathrm {K} +\alpha \ \ \left(ap+\sideset {^{1}}{}aq\right)\right.\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}ap^{2}+\sideset {^{3}}{}apq+\sideset {^{4}}{}aq^{2}\right)\\&\qquad \qquad +\left.\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}ap^{3}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&+t^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}\\\\+&\cos ht\left\{{\begin{aligned}q&+t\,\ \left[\ \ \mathrm {H} +\alpha \ \ \left(bq+\sideset {^{1}}{}bp\right)\right.\\&\qquad \qquad +\alpha ^{2}\left(\sideset {^{2}}{}bq^{2}+\sideset {^{3}}{}bpq+\sideset {^{4}}{}ap^{2}\right)\\&\qquad \qquad +\left.\alpha ^{3}\left(\sideset {^{5}}{}bq^{3}+\ldots \right)+\ldots \right]\\&+t^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}+\mathrm {R} ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {R}$ étant fonction de $t$, de sinus et de cosinus.

Présentement, si l’on suppose, dans l’équation $(x),\ t=\mathrm {T} +t_{1},$ on aura, en l’intégrant,

$(\mathrm {V} ''')\left\{{\begin{aligned}y=&\sin h(\mathrm {T} +t_{1})\left\{{\begin{aligned}p'&+t_{1}\left[\,\ \mathrm {K} +\alpha \left(ap'+\sideset {^{1}}{}aq'\right)+\ldots \right]\\&+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {K} }+\ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right\}\\\\+&\cos h(\mathrm {T} +t_{1})\left\{{\begin{aligned}q'&+t_{1}\left[\,\ \mathrm {H} +\alpha \left(bq'+\sideset {^{1}}{}bp'\right)+\ldots \right]\\&+t_{1}^{2}\left[\sideset {^{1}}{}{\mathrm {H} }+\ldots \ldots \ldots \right]\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}\right\}+\mathrm {R} ',\end{aligned}}\right.$

$p'$ et $q'$ étant deux constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y,$ de ${\frac {dy}{dt_{1}}},$ lorsque $t_{1}=0,\ \mathrm {R} '$ étant ce que devient $\mathrm {R} ,$ lorsqu’on y change $p$ en $p',\ q$ en $q'$ et $t$ en $t_{1},$ excepté sous les sinus et les cosinus, où il faut écrire $\mathrm {T} +t_{1}$ au lieu de $t\,;$ si l’on compare maintenant les deux valeurs précédentes de $y,$ on aura, en observant que