Page:Laplace - Œuvres complètes, Gauthier-Villars, 1878, tome 8.djvu/399

et de $q,$ lorsque $x=0\,;$ on aura donc

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&e\cos \left\{\alpha \mathrm {T} \left[l-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12}}\right]+\theta \right\},\\\sideset {^{1}}{}q=&e\sin \left\{\alpha \mathrm {T} \left[l-{\frac {\alpha \left(18l^{2}+5e^{2}\right)}{12}}\right]+\theta \right\}.\end{aligned}}$

Ainsi l’équation (V’) donnera, en y supposant $t_{1}=0,$

$y=l-\alpha \left({\frac {1}{2}}-\alpha l\right)\left(2l^{2}+e^{2}\right)$

$+e\sin \left[\ \ \mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+\ \ \theta \right]$

$-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}(1-2\alpha l)\cos \left[2\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+2\theta \right]$

$-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{48}}\sin \left[3\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+3\theta \right].$

C’est, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{3},$ l’expression de $y,$ après le temps quelconque $\mathrm {T} \,;$ cette valeur est précisément la même que celle à laquelle nous sommes arrivés par un autre procédé dans l’article précédent.

Prenons encore pour exemple l’équation différentielle

$(x)\qquad \quad \left\{{\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+h^{2}y=\mathrm {T} &+\alpha \ \left(\mathrm {T} '\ y\ +\mathrm {T} ''{\frac {dy}{dt}}\right)\\&+\alpha ^{2}\left(\mathrm {T} '''y^{2}+\mathrm {T} ^{\text{ıv}}y{\frac {dy}{dt}}+\mathrm {T} ^{\text{v}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}\right)\\&+\alpha ^{3}\left(\mathrm {T} ^{\text{vı}}y^{3}+\ldots \right)+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {T,T'} ,\ldots$ étant des fonctions rationnelles et entières de sinus et de cosinus de cette forme $\sin {\text{ϐ}}t,\cos {\text{ϐ}}t.$

Soit

$y=z+\alpha z'+\alpha ^{2}z''+\ldots ,$

et l’on aura, en comparant séparément les quantités sans $\alpha ,$ celles de l’ordre $\alpha ,$ celles de l’ordre $\alpha ^{2},$ etc., les équations différentielles

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,\ +h^{2}z\ \ =&\mathrm {T} ,\\{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}+h^{2}z'\ =&\mathrm {T} 'z\ +\mathrm {T} ''{\frac {dz}{dt}},\\{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+h^{2}z''=&\mathrm {T} 'z'+\mathrm {T} ''{\frac {dz'}{dt}}+\mathrm {T} '''z^{2}+\mathrm {T} ^{\text{ıv}}z{\frac {dz}{dt}}+\ldots ,\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$