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c’est, aux quantités près de l’ordre $\alpha ^{3},$ la valeur de $y$ après le temps quelconque $\mathrm {T} \,;$ on pourrait, en suivant ce procédé, continuer aussi loin que l’on voudrait l’approximation.

II.

La méthode de l’article précédent consiste, comme l’on voit, à déterminer à chaque approximation les constantes arbitraires, de manière à faire disparaître les arcs de cercle, lorsque cela est possible ; mais, au lieu de répéter cette opération autant de fois qu’il y a d’approximations, on peut d’abord intégrer l’équation différentielle, en conservant les arcs de cercle et en poussant la précision jusqu’aux quantités de l’ordre auquel on veut s’arrêter ; ensuite, on n’aura plus besoin que d’une seule opération pour faire disparaître les arcs de cercle. Développons cette méthode et, pour cela, considérons l’équation différentielle

(11)

$0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y-l+\alpha y^{2},$

que nous venons d’intégrer.

Comme je ne veux porter la précision que jusqu’aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ inclusivement, je fais

$y=z+\alpha z'+\alpha ^{2}z''.$

En substituant cette valeur de $y$ dans l’équation (11), et comparant séparément les termes sans $\alpha ,$ ceux de l’ordre $\alpha$ et ceux de l’ordre $\alpha ^{2},$ j’ai les trois équations suivantes

${\begin{aligned}&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\,\ +z\ \ -\quad l\ \ =0,\\&{\frac {d^{2}z'}{dt^{2}}}\,+z'\,+\ \ z^{2}\ \ =0,\\&{\frac {d^{2}z''}{dt^{2}}}+z''+2zz'=0\,;\end{aligned}}$