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négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{3},$

${\begin{aligned}\delta e\sin &\left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]+e\delta \varpi \cos \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&=-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}\left(18el^{2}+5e^{3}\right)\mathrm {T} \cos \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right],\end{aligned}}$

d’où l’on tire

(16)

$\delta e=0\qquad {\text{et}}\qquad \delta \varpi =-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}\left(18el^{2}+5e^{3}\right)\mathrm {T} \,;$

partant, $e$ est constant et $\varpi$ est fonction de

$-{\frac {\alpha ^{2}}{12}}\left(18el^{2}+5e^{3}\right)\mathrm {T} \,;$

en nommant donc $-x$ cette quantité, on aura

$\delta \varpi =x{\frac {d\varpi }{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}\varpi }{dx^{2}}}+\ldots ,$

et l’équation (16) donnera, en comparant les termes multipliés par $x,$

${\frac {d\varpi }{dx}}=-1\,;$

partant,

$\varpi =-x+\theta ,$

$\theta$ étant une nouvelle constante arbitraire que l’on déterminera au moyen de la valeur de $\varpi ,$ lorsque $x=0\,;$ donc

$\sideset {^{1}}{}\varpi =\theta -{\frac {\alpha ^{2}}{12}}\left(18el^{2}+5e^{2}\right)\mathrm {T} .$

L’équation (15) deviendra par conséquent, en y supposant $t_{1}=0,$

$y=l-\alpha l^{2}-{\frac {\alpha e^{2}}{2}}+2\alpha ^{2}l^{3}+\alpha ^{2}e^{2}l$

$+e\sin \left[\ \ \mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+\ \ \theta \right]$

$-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}(1-2\alpha l)\cos \left[2\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+2\theta \right]$

$-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}}{48}}\sin \left[3\mathrm {T} \left(1+\alpha l-{\frac {3}{2}}\alpha ^{2}l^{2}-{\frac {5}{12}}\alpha ^{2}e^{2}\right)+3\theta \right]\,;$