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partant, en intégrant et en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ,$ on aura

${\begin{aligned}z=2l^{3}+e^{2}l&-{\frac {18el^{2}+5e^{3}}{12}}t\cos \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&+{\frac {e^{2}l}{3}}\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]-{\frac {e^{3}}{48}}\sin \left[3t(1+\alpha l)+3\varpi \right]\end{aligned}}$

et

(14)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha l^{2}-{\frac {\alpha e^{2}}{2}}+2\alpha ^{2}l^{3}\\&+\alpha ^{2}e^{2}l+e\sin \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad -\alpha ^{2}{\frac {18el^{2}+5e^{3}}{12}}t\cos \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&-\left({\frac {\alpha e^{2}}{6}}-{\frac {\alpha ^{2}e^{2}l}{3}}\right)\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad -{\frac {\alpha ^{2}e^{3}}{48}}\sin \left[3t(1+\alpha l)+3\varpi \right],\end{aligned}}\right.$

$e$ et $\varpi$ dépendant des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0.$

Que l’on fasse présentement, comme ci-dessus, $t=\mathrm {T} +t_{1}$ dans l’équation (11), et l’on trouvera, de la même manière que nous venons de conclure l’équation (14).

(15)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha l^{2}-{\frac {\alpha \,\sideset {^{1}}{}e^{2}}{2}}+2\alpha ^{2}l^{3}+\alpha ^{2}\sideset {^{1}}{}e^{2}l\\&+\sideset {^{1}}{}e\sin \left[(\mathrm {T} +t_{1})(1+\alpha l)+\sideset {^{1}}{}\varpi \right]\\&\qquad -{\frac {\alpha ^{2}\left(18\,\sideset {^{1}}{}el^{2}+5\,\sideset {^{1}}{}e^{3}\right)}{12}}t_{1}\cos \left[(\mathrm {T} +t_{1})(1+\alpha l)+\sideset {^{1}}{}\varpi \right]\\&-\left({\frac {\alpha \,\sideset {^{1}}{}e^{2}}{6}}-{\frac {\alpha ^{2}\,\sideset {^{1}}{}e^{2}l}{3}}\right)\cos \left[(2\mathrm {T} +2t_{1})(1+\alpha l)+2\,\sideset {^{1}}{}\varpi \right]\\&\qquad \qquad \qquad -{\frac {\alpha ^{2}\,\sideset {^{1}}{}e^{3}}{48}}\sin \left[(3\mathrm {T} +3t_{1})(1+\alpha l)+3\,\sideset {^{1}}{}\varpi \right],\end{aligned}}\right.$

$\sideset {^{1}}{}e$ et $\sideset {^{1}}{}\varpi$ dépendant des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt_{1}}},$ lorsque $t_{1}=0\,;$ or, si l’on négligeait les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on aurait visiblement $\sideset {^{1}}{}e=e$ et $\sideset {^{1}}{}\varpi =\varpi \,;$ donc $\sideset {^{1}}{}e$ ne diffère de $e,$ et $\sideset {^{1}}{}\varpi$ de $\varpi ,$ que des quantités de l’ordre $\alpha ^{2}\,;$ soit donc

$\sideset {^{1}}{}e=e+\delta e\qquad$et$\qquad \sideset {^{1}}{}\varpi =\varpi +\delta \varpi .$

Cela posé, les équations (14) et (15) donnent, en les comparant, et en