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Si l’on compare les équations (12) et (13), on aura, comme dans l’exemple précédent, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

$\delta p=-\alpha l\mathrm {T} q\qquad$et$\qquad \delta q=\alpha l\mathrm {T} p\,;$

d’où l’on voit que $p$ et $q$ sont fonctions de $\alpha l\mathrm {T} \,;$ soit

$\alpha l\mathrm {T} =x,$

et l’on aura

${\frac {dp}{dx}}=-q\qquad$et$\qquad {\frac {dq}{dx}}=p\,;$

en intégrant ces deux équations, on aura

$p=e\cos(x+\varpi )\qquad$et$\qquad q=e\sin(x+\varpi ),$

$e$ et $\varpi$ étant deux nouvelles constantes arbitraires que l’on déterminera au moyen des valeurs de $p$ et de $q,$ lorsque $x=0\,;$ on aura donc

$\sideset {^{1}}{}p=e\cos(\alpha l\mathrm {T} +\varpi )\qquad$et$\qquad \sideset {^{1}}{}q=e\sin(\alpha l\mathrm {T} +\varpi ),$

et l’équation (13) donnera, en y supposant $t_{1}=0,$

$y=l-{\frac {\alpha \left(2l^{2}+e^{2}\right)}{2}}+e\sin \left[\mathrm {T} (1+\alpha l)+\varpi \right]-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}\cos \left[2\mathrm {T} (1+\alpha l)+2\varpi \right]\,;$

c’est l’expression de $y$ après le temps quelconque $\mathrm {T} ,$ en négligeant la quantité de l’ordre $\alpha ^{2}.$

Si l’on veut pousser l’approximation jusques aux quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$ on fera

$y=l-{\frac {\alpha \left(2l^{2}+e^{2}\right)}{2}}+e\sin \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]-{\frac {\alpha e^{2}}{6}}\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]+\alpha ^{2}z,$

et l’équation (11) donnera, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{3},$

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z-2l^{3}-e^{2}l\\&-{\frac {18el^{2}+5e^{2}}{6}}\sin \left[t(1+\alpha l)+\varpi \right]\\&+e^{2}l\cos \left[2t(1+\alpha l)+2\varpi \right]-{\frac {e^{3}}{6}}\sin \left[3t(1+\alpha l)+3\varpi \right]\,;\end{aligned}}$