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valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0\,;$ je fais ensuite

$y=l+p\sin t+q\cos t+\alpha z,$

et substituant cette valeur de $y$ dans l’équation (11), elle donne, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2}$ et en intégrant,

$z=-{\frac {2l^{2}+p^{2}+q^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {pq}{3}}\sin 2t+lpt\cos t-lqt\sin t\,;$

donc

(12)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-\alpha {\frac {2l^{2}+p^{2}+q^{2}}{2}}+(p-\alpha lqt)\sin t+(q+\alpha lpt)\cos t\\&+\alpha {\frac {q^{2}-p^{2}}{6}}\cos 2t+{\frac {\alpha pq}{3}}\sin 2t.\end{aligned}}\right.$

Que l’on fasse présentement, dans l’équation (11),

$t=\mathrm {T} +t_{1},$

$\mathrm {T}$ étant supposé constant, elle deviendra d’où l’on tirera, en l’intégrant et négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

(13)

$\left\{{\begin{aligned}y=l&-{\frac {\alpha \left(2l^{2}+\sideset {^{1}}{}p^{2}+\sideset {^{1}}{}q^{2}\right)}{2}}+(\sideset {^{1}}{}p-\alpha l\,\sideset {^{1}}{}qt_{1})\sin \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +(\sideset {^{1}}{}q+\alpha l\,\sideset {^{1}}{}pt_{1})\cos \left(\mathrm {T} +t_{1}\right)\\&+{\frac {\alpha \left(\sideset {^{1}}{}q^{2}-\sideset {^{1}}{}p^{2}\right)}{6}}\cos \left(2\mathrm {T} +2t_{1}\right)+{\frac {\alpha \,\sideset {^{1}}{}p\sideset {^{1}}{}q}{3}}\sin \left(2\mathrm {T} +2t_{1}\right).\end{aligned}}\right.$

$\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ étant deux nouvelles constantes arbitraires que je détermine au moyen des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt_{1}}}$ lorsque $t_{1}=0.$

Présentement, si l’on avait $\alpha =0,$ on aurait $\sideset {^{1}}{}p=p,\ \sideset {^{1}}{}q=q\,;$ donc $\sideset {^{1}}{}p$ et $\sideset {^{1}}{}q$ ne diffèrent de $p$ et de $q$ que de quantités de l’ordre $\alpha \,;$ soit donc

$\sideset {^{1}}{}p=p+\delta p\qquad$et$\qquad \sideset {^{1}}{}q=q+\delta q.$