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l’équation (2) donnera

$y=\sideset {^{1}}{}p\sin t+\sideset {^{1}}{}q\cos t-{\frac {\alpha \,\sideset {^{1}}{}p}{16}}\sin 3t-{\frac {\alpha \,\sideset {^{1}}{}q}{16}}\cos 3t\,;$

de plus, on aura comme précédemment, en faisant ${\frac {\alpha }{4}}t=x,$

${\frac {dp}{dx}}=q\qquad$et$\qquad {\frac {dq}{dx}}=p,$

d’où l’on tirera l’équation

${\begin{aligned}y=&fe^{{\frac {\alpha }{4}}t}\left(\sin t+\cos t-{\frac {\alpha }{16}}\sin 3t-{\frac {\alpha }{16}}\cos 3t\right)\\&+\sideset {^{1}}{}fe^{-{\frac {\alpha }{4}}t}\left(\sin t-\cos t-{\frac {\alpha }{16}}\sin 3t+{\frac {\alpha }{16}}\cos 3t\right),\end{aligned}}$

la même que l’équation $(\sigma ).$

Quoique de cette seconde manière le calcul soit plus simple, cependant je préférerai, dans la suite, la première, qui me parait plus directe.

Exemple II. – Soit encore l’équation différentielle

(8)

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y=\alpha y^{2}\sin 3t.$

En intégrant d’abord celle-ci

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+y=0,$

on aura

$y=p\sin t+q\cos t,$

$p$ et $q$ étant deux constantes arbitraires dépendantes des valeurs de $y$ et de ${\frac {dy}{dt}},$ lorsque $t=0.$

On fera ensuite

$y=p\sin t+q\cos t+\alpha z,$

et l’équation (8) donnera, en négligeant les quantités de l’ordre $\alpha ^{2},$

${\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+z={\frac {pq}{2}}\cos t+{\frac {q^{2}-p^{2}}{4}}\sin t+{\frac {p^{2}+q^{2}}{2}}\sin 3t$

$+{\frac {q^{2}-p^{2}}{4}}\sin 5t-{\frac {pq}{2}}\cos 5t\,;$