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dans les deux suivantes :

(4)

$\delta p={\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} q,$

(5)

$\delta q={\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} p.$

On voit ainsi que $p$ et $q$ sont fonctions de ${\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} .$ Pour déterminer ces fonctions, soit ${\frac {\alpha }{4}}\mathrm {T} =x,$ on aura, comme l’on sait,

${\begin{aligned}\sideset {^{1}}{}p=&p+\delta p=p+x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\sideset {^{1}}{}q=&q+\delta q=q+x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots ,\end{aligned}}$

partant

${\begin{aligned}\delta p=&x{\frac {dp}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}p}{dx^{2}}}+\ldots ,\\\delta q=&x{\frac {dq}{dx}}+{\frac {x^{2}}{1.2}}{\frac {d^{2}q}{dx^{2}}}+\ldots \,;\end{aligned}}$

les équations (4) et (5) deviendront ainsi, en négligeant les quantités de l’ordre $x^{2},$ ou, ce qui revient au même, en comparant les termes multipliés par $x,$

(6)

${\frac {dp}{dx}}=q,$

(7)

${\frac {dq}{dx}}=p.$

Pour intégrer ces deux équations, je fais

$p=fe^{nx}\qquad$et$\qquad q=ge^{nx},$

$e$ étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité, et $f$ et $n$ étant constants ; en substituant ces valeurs de $p$ et de $q$ dans les équations différentielles (6) et (7), on aura

$fn=g\qquad$et$\qquad gn=f,$

d’où l’on tire

$n=\pm 1\,;$